La lunghezza del bordo più lunga della chiave golosa su punti distribuiti uniformemente in

Sia un insieme di N punti in R d . Per ogni t ≥ 1 , una chiave t è un grafico non orientato G = ( P , E ) ponderato sotto la misura euclidea, tale che per ogni due punti v , u , la distanza più breve in G , d ( v , u ) , è al massimo t volte la distanza euclidea tra v e u , | v u $P$$N$$\mathbb{R}^d$$t \geq 1$$t$$G=(P, E)$$v$$u$$G$$d(v, u)$$t$$v$$u$$|v u|$ (nota che questa definizione può essere facilmente estesa a spazi di misura arbitrari).

Si consideri il seguente algoritmo con e t come input:$P$$t$

E = empty
for every pair of points (v, u) in ascending order under |vu|
    if the shortest path in (P, E) is more than t times |vu|
        add (v, u) to E
return E

Questo algoritmo calcola la cosiddetta chiave golosa (o chiave chiave golosa). Questo grafico è stato oggetto di notevoli ricerche: produce chiavi estremamente buone, sia in pratica che in teoria.

Sono interessato alla lunghezza del bordo più lungo della chiave golosa se è uniformemente distribuito in [ 0 , 1 ] d (anche il caso che d = 2 va bene). Suppongo che questa lunghezza massima sia al massimo di circa 1 / $P$$[0,1]^d$ , potenzialmente con alcuni fattori e fattori di registrod. Questa congettura è motivata da dati sperimentali.$1 / \sqrt{N}$$d$

Il motivo del mio interesse è che ho un algoritmo che calcola rapidamente la chiave avida se la lunghezza del bordo più lungo è relativamente corta. Se quanto sopra è corretto, significherebbe che il mio algoritmo è applicabile allo scenario di cui sopra e quindi potenzialmente utile nella pratica.

Ho trovato alcuni documenti che analizzano il numero di bordi e il grado di altri tipi di chiavi su punti distribuiti casualmente, ma nessuno sulla lunghezza del bordo più lungo. La teoria della probabilità in questione sembrava piuttosto complicata, quindi speravo che qualcosa fosse noto prima di provare me stesso una prova.

Nel nostro paper Distribution Sensitive Construction of the Greedy Spanner (accettato per ESA 2014) dimostriamo quanto segue (combinando Teorema 4 e Lemma 6):

Esiste dipendente solo da t tale che per ogni c > 0 , se P è un insieme di punti distribuiti in modo uniforme e indipendente a caso in $c_t$$t$$c > 0$$P$ quadrato enè abbastanza grande, quindi con probabilità almeno$\sqrt{n} \times \sqrt{n}$$n$$1 - n^c$$t$$P$$c \cdot c_t \log n$

$c_t$$\frac{1}{\sqrt[4]{t-1}} \cdot \frac{\log n}{\log \log n}$