Algoritmi di approssimazione temporale polinomiale per la programmazione delle macchine: quanti problemi aperti rimangono?

Nel 1999, Petra Schuurman e Gerhard J. Woeginger hanno pubblicato il documento "Algoritmi di approssimazione temporale polinomiale per la programmazione delle macchine: dieci problemi aperti" . Da allora, per quanto ne so, non sono apparse recensioni che riguarderebbero lo stesso elenco di problemi. Sarebbe quindi utile e utile se ognuno di noi potesse fare un tale riassunto su alcuni dei dieci problemi aperti e contribuire qui.

— Dai Le
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PDF: Algoritmi di approssimazione temporale polinomiale per la programmazione delle macchine: dieci problemi aperti

— Daniel Apon,

Non penso che questo debba essere reso CW ...

— Suresh Venkat,

@Suresh Venkat: Come rimuovere CW?

— Oleksandr Bondarenko,

Sfortunatamente, non c'è modo di trasformare una domanda wiki della comunità in una domanda non CW. L'aggiunta di questa funzionalità al motore Stack Exchange è richiesta all'indirizzo: meta.stackexchange.com/questions/6821/…

— Tsuyoshi Ito

Vedi anche le FAQ su quando usare il tag CW: meta.cstheory.stackexchange.com/questions/225/…

— Suresh Venkat

Riduci al minimo la durata della macchina su macchine identiche con vincoli di precedenza

Aprire problema 1. Fornire un risultato inapproximability per . $4/3+\delta$ $P|prec|C_{max}$

Ecco ciò che viene in mente per primo è il documento di quest'anno di Ola Svensson "Durezza condizionale della precedenza Programmazione vincolata su macchine identiche". Nel suo documento Ola lo dimostra

"se il problema della singola macchina è difficile da approssimare entro un fattore allora il problema della macchina parallela considerata, anche nel caso di tempi di elaborazione dell'unità, è difficile da approssimare entro un fattore , dove tende a 0 come tende a 0. " $2-\epsilon$ $2-\zeta$ $\zeta$ $\epsilon$

Nel 2008 è stato pubblicato il documento "Programmazione vincolata alla precedenza in · ottimale "che descrive un algoritmo percon il rapporto prestazioni, menzionato nel suo titolo. Ciò migliora l'algoritmo di Coffman-Graham con limite $(2−\frac{7}{3p+1})$ $P|prec,p_j=1|C_{max}$ , doveè il numero di macchine. $2-\frac{2}{p}$ $p$

L'articolo "Algoritmi di approssimazione per la pianificazione di lavori con vincoli di precedenza di catena" di Jansen e Solis-Oba contiene PTAS per , e, di conseguenza, per come caso speciale del precedente problema. $Qm|chains|C_{max}$ $Pm|chains|C_{max}$

Quest'anno è apparso l'articolo "Schemi di approssimazione per la pianificazione di lavori con vincoli di precedenza di catena" di Jansen e Solis-Oba (versione ufficiale del precedente), che riguarda PTAS per con un numero fisso di lavori in ogni catena e con un numero costante di lavori nel componente collegato di ogni ordine. $P|chains|C_{max}$ $P|prec|C_{max}$

Riduzione al minimo della realizzazione su macchine uniformi sotto vincoli di precedenza

L'articolo di 2003 "Algoritmi di approssimazione per la pianificazione di lavori con vincoli di precedenza di catena" di Jansen e Solis-Oba contiene PTAS per . $Qm|chains|C_{max}$

Riduci al minimo la durata in base a vincoli di precedenza con ritardi di comunicazione

Riduzione al minimo della durata della macchina su macchine non correlate

Riduzione al minimo della realizzazione in negozi aperti

Riduzione al minimo della realizzazione nei negozi di flusso

Nel documento di Nagarajan e Sviridenko del 2008 "Limiti limitati per la pianificazione del negozio per il flusso di permutazione" possiamo trovare il limite superiore sul rapporto tra un makepan ottimale e il makepan del miglior programma di permutazione. Questo limite è il rapporto di approssimazione di un algoritmo proposto ed è il migliore possibile tra gli algoritmi in base ai limiti inferiori banali, fino a fattore. Per inciso, gli algoritmi proposti sono attualmente quelli con i migliori rapporti di approssimazione. $2\sqrt{2}$

Riduzione al minimo della durata delle officine

Apri problema 7. Decidi se esiste un algoritmo di approssimazione temporale polinomiale per cui prestazioni nel caso peggiore sono indipendenti dal numero di macchine e / o dal numero massimo di operazioni . Fornire un risultato inapproximability per . Fornire un risultato di inapprossimabilità per cui valore cresce con il numero $J||C_{max}$ $m$ $\mu$ $5/4+\delta$ $J||C_{max}$ $J||C_{max}$ $m$ di macchine per infettare.

Progettare un PTAS per per il caso in cui fa parte dell'ingresso; o confutare l'esistenza di tale PTAS ai sensi di P NP. $J2||C_{max}$ $\mu$ $\ne$

La tesi di Svensson "Approssimabilità di alcuni grafici classici e problemi di programmazione" contiene risultati che dimostrano che non può essere approssimato all'interno di assumendo e che $J||C_{max}$ $O((\log lb)^{1-\epsilon})$ $NP\subseteq ZTIME(2^{\log n^{O(1/\epsilon)}})$ $J2||C_{max}$ non ha PTAS a meno che . $NP\subseteq DTIME(n^{O(\log n)})$

Tempo totale di completamento del lavoro senza vincoli di precedenza

Tempo totale di completamento del lavoro con vincoli di precedenza

Apri problema 9. Prova che e non hanno algoritmi di approssimazione temporale polinomiale con garanzia di prestazione meno che P = NP. $1|prec|\sum C_j$ $1|prec|\sum w_jC_j$ $2−\epsilon$

Nel "Test ottimale del codice lungo con un bit libero" Bansal e Khot hanno dimostrato che è così, ma ipotizzando una nuova variante della congettura unica dei giochi.

Criteri del tempo di flusso

Problema aperto 10. Progettare algoritmi di approssimazione temporale polinomiale con garanzie prestazionali costanti per e per . $1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$ $P|pmtn;r_j|\sum F_j$

$O(1)$ $1|pmtn;r_j|\sum w_jF_j$ $O(1)$

$\Omega(\sqrt{\frac{\log P}{\log\log P}})$ $P|pmtn;r_j|\sum F_j$ $\Omega(\frac{\log P}{\log\log P})$

— Oleksandr Bondarenko
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