Si può provare usando il teorema di Linial-Mansour-Nisan e la conoscenza dello spettro di di ?

Risultato 1: il teorema di Linial-Mansour-Nisan afferma che il peso quadruplo delle funzioni calcolate dai è concentrato su sottoinsiemi di piccole dimensioni con elevata probabilità. $\mathsf{AC}^0$

Risultato 2: ha il suo peso di quattro volte concentrato sul coefficiente di grado . $\mathsf{PARITY}$ $n$

Domanda: c'è un modo per dimostrare (se dimostrabile) non calcolabile dai tramite / usando i risultati 1 e 2? $\mathsf{PARITY}$ $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
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Non è questa una ovvia applicazione del teorema di Linial-Mansour-Nisan? Come sia dimostrato il teorema LMN (in particolare, sia che sia dimostrato da argomenti probabilistici o meno) è irrilevante.

— Tsuyoshi Ito,

allo stesso tempo, il teorema di Linial-Mansour-Nisan non è dimostrato assumendo il teorema di Hastad? Mi sembra un cane che insegue la propria coda ...

— Alessandro Cosentino,

Questo è il modo in cui il limite inferiore sulla dimensione di un circuito AC0 che si avvicina alla parità è derivato nelle note di Ryan O'Donnell . Vedi corollario 32.

— Sasho Nikolov,

penso che la domanda più interessante sia nel tuo commento: è ogni funzione il cui spettro di Fourier è concentrato su coefficienti di basso livello calcolabile da circuiti AC0 di piccole dimensioni.

— Sasho Nikolov,

@Strattav Quindi potresti porre questa domanda.

— Tyson Williams,

Il teorema LMN mostra che se f è una funzione booleana calcolabile da un circuito di dimensione M, $(f:\{-1,1\}^n \rightarrow \{-1,1\})$ $\text{AC}^0$

\sum_{S : | S | > k} \hat{f} (S)^{2} \leq 2^{- Ω (k / (\log M)^{d - 1})}

$\sum_{S:|S|> k} \hat f(S)^{2} \leq 2^{-\Omega(k/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow \hat f([n])^{2} \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

$\Rightarrow |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}$

non è altro che la correlazione di f con la funzione di parità . Diciamo essere la frazione di ingressi dove differisce da . $|\hat f([n])|$ $(\prod_{i = 1}^{n}x_i)$ $\delta$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} 1 - 2 δ \leq | 1 - 2 δ | & = | \hat{f} ([n]) | \leq 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow δ & \geq 1 - 2^{- Ω (n / (\log M)^{d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} 1 -2 \delta \leq |1 - 2\delta| &= |\hat f([n])| \leq 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow \delta &\geq 1 - 2^{-\Omega(n/(\log M)^{d-1})} \end{align}$

Quindi, se M è , per è uguale a , $poly(n)$ $f$ $PARITY$

\begin{aligned} δ & \leq \frac{1}{2^{n}} \\ \Rightarrow 2^{n} & \geq 2^{(c n / (\log M)^{d - 1})} \\ \Rightarrow (\log M)^{d - 1} & \geq (c - 1) n \\ \Rightarrow M & \geq 2^{Ω (n^{1 / d - 1})} \end{aligned}

$\begin{align} \delta &\leq \frac{1}{2^n}\\ \Rightarrow 2^n &\geq 2^{(cn/(\log M)^{d-1})}\\ \Rightarrow (\log M)^{d-1} &\geq (c-1)n \\ \Rightarrow M &\geq 2^{\Omega (n^{1/d-1})} \end{align}$

Quindi, il teorema LMN non solo dimostra che non può essere calcolato dai circuiti , ma mostra anche che ha una bassa correlazione con i circuiti . $PARITY$ $AC^{0}$ $PARITY$ $AC^{0}$

— Tulasi
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