Si può provare usando il teorema di Linial-Mansour-Nisan e la conoscenza dello spettro di di ?


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Risultato 1: il teorema di Linial-Mansour-Nisan afferma che il peso quadruplo delle funzioni calcolate dai è concentrato su sottoinsiemi di piccole dimensioni con elevata probabilità.AC0

Risultato 2: ha il suo peso di quattro volte concentrato sul coefficiente di grado .PARITYn

Domanda: c'è un modo per dimostrare (se dimostrabile) non calcolabile dai tramite / usando i risultati 1 e 2?PUNRioTYUNC0


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Non è questa una ovvia applicazione del teorema di Linial-Mansour-Nisan? Come sia dimostrato il teorema LMN (in particolare, sia che sia dimostrato da argomenti probabilistici o meno) è irrilevante.
Tsuyoshi Ito,

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allo stesso tempo, il teorema di Linial-Mansour-Nisan non è dimostrato assumendo il teorema di Hastad? Mi sembra un cane che insegue la propria coda ...
Alessandro Cosentino,

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Questo è il modo in cui il limite inferiore sulla dimensione di un circuito AC0 che si avvicina alla parità è derivato nelle note di Ryan O'Donnell . Vedi corollario 32.
Sasho Nikolov,

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penso che la domanda più interessante sia nel tuo commento: è ogni funzione il cui spettro di Fourier è concentrato su coefficienti di basso livello calcolabile da circuiti AC0 di piccole dimensioni.
Sasho Nikolov,

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@Strattav Quindi potresti porre questa domanda.
Tyson Williams,

Risposte:


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Il teorema LMN mostra che se f è una funzione booleana calcolabile da un circuito AC 0 di dimensione M,(f:{1,1}n{1,1})AC0

S:|S|>kf^(S)22Ω(k/(logM)d1)

f^([n])22Ω(n/(logM)d1)

|f^([n])|2Ω(n/(logM)d1)

non è altro che la correlazione di f con la funzione di parità ( n i = 1 x i ) . Diciamo δ essere la frazione di ingressi dove f differisce da P A R I T Y .|f^([n])|(i=1nxi)δfPARITY

12δ|12δ|=|f^([n])|2Ω(n/(logM)d1)δ12Ω(n/(logM)d1)

Quindi, se M è , per f è uguale a P A R I T Y ,poly(n)fPARITY

δ12n2n2(cn/(logM)d1)(logM)d1(c1)nM2Ω(n1/d1)

Quindi, il teorema LMN non solo dimostra che non può essere calcolato dai circuiti A C 0 , ma mostra anche che P A R I T Y ha una bassa correlazione con i circuiti A C 0 .PARITYAC0PARITYAC0

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