Errori unilaterali nei sistemi di prova probablistic

Nella maggior parte dei sistemi di prova probabilistica (teorema del PCP, per esempio), le probabilità di errore sono generalmente definite sul lato dei falsi positivi, ovvero una definizione tipica potrebbe apparire come: se il verificatore accetta sempre, ma in in altri casi la probabilità di rigetto è almeno 1/2.$x \in L$

C'è un problema nel consentire che l'errore si verifichi dall'altra parte? Ciò significa che il verificatore rifiuta sempre quando dovrebbe e non fa altro che un errore costante quando deve accettare. Un'altra ovvia possibilità è consentire l'errore su entrambi i lati. Queste definizioni saranno equivalenti a quelle normalmente fornite? Oppure si comportano diversamente? O del resto, esiste un vero problema nel consentire gli errori dall'altra parte?

Consentire l'errore di completezza non ha alcun problema ed è spesso considerato. Ecco alcuni suggerimenti .

D'altra parte, in generale, la mancata eliminazione dell'errore di solidità rimuove significativamente la potenza di un modello.

Nel caso di sistemi di prova interattivi, la disabilitazione dell'errore di solidità rende inutile l'interazione, tranne per la comunicazione a senso unico da un prover a un verificatore; cioè, IP con perfetta solidità è uguale a NP. Questo può essere mostrato considerando una macchina NP che indovina i bit casuali del verificatore e la trascrizione dell'interazione che fa accettare il verificatore [FGMSZ89].

Nel caso di sistemi di prova probabilisticamente verificabili (PCP), lo stesso ragionamento mostra che richiedere una perfetta solidità rende la casualità inutile per la scelta delle posizioni da interrogare. Più precisamente, si può dimostrare che PCP ( r ( n ), q ( n )) con completezza c ( n ) e perfetta solidità (anche con query adattive) è uguale alla classe C dei problemi di decisione A = ( A _sì , A _no ) per cui esiste una lingua B ⊆ {0,1} * × {0,1} * × {0,1} * in P tale che

• se x ∈ A _sì , allora Pr _{y ∈ {0,1} ^{r ( n )}} [∃ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} tale che ( x , y , z ) ∈ B ] ≥ c ( n ), e
• se x ∈ A _no , allora ∀ y ∈ {0,1} ^{r ( n )} ∀ z ∈ {0,1} ^{q ( n )} , ( x , y , z ) ∉ B ,

dove n = | x |. (Si noti che nella definizione di classe C , il caso sì non richiede la preparazione di un intero certificato prima che il verificatore scelga la stringa casuale y , a differenza della normale definizione di un sistema PCP. Un certificato può essere preparato dopo aver conosciuto y , e è necessaria solo la parte richiesta del certificato, motivo per cui la lunghezza di z è q ( n ).) Combinato con limiti inferiori semplici, ciò implica quanto segue:

• PCP (registro, registro) con perfetta solidità = P.
• PCP (poli, log) con perfetta solidità = RP .
• PCP (poli, poli) con perfetta solidità = NP.

Confrontando questi con i teoremi di PCP PCP (log, O (1)) = NP e PCP (poly, O (1)) = NEXP, possiamo vedere che richiedere una perfetta solidità ha un impatto enorme.

[FGMSZ89] Martin Fürer, Oded Goldreich, Yishay Mansour, Michael Sipser e Stathis Zachos. Sulla completezza e solidità nei sistemi di prova interattivi. In casualità e calcolo , vol. 5 of Advances in Computing Research , pagg. 429–442, 1989. http://www.wisdom.weizmann.ac.il/~oded/PS/fgmsz.ps