Numero di nodi distinti in una passeggiata casuale

Il tempo di commutazione in un grafico collegato è definito come il numero previsto di passi in una camminata casuale a partire da , prima che il nodo sia visitato e quindi il nodo sia raggiunto di nuovo. È fondamentalmente la somma dei due tempi di risposta e . $G=(V,E)$ $i$ $j$ $i$ $H(i,j)$ $H(j,i)$

Esiste qualcosa di simile al tempo di percorrenza (non esattamente lo stesso) ma definito in termini di nodi? In altre parole, qual è il numero atteso di nodi distinti che verrà visitato da una passeggiata casuale a partire da e di ritorno a ? $i$ $i$

Aggiornamento (30 settembre 2012): esiste un numero di lavori correlati sul numero di siti distinti visitati da un camminatore casuale su un reticolo (ad esempio, ). Ad esempio, consultare: http://jmp.aip.org/resource/1/jmapaq/v4/i9/p1191_s1?isAuthorized=no $\mathbb{Z}^n$

Qualcuno ha mai letto qualcosa al riguardo?

— Fabrizio Silvestri
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Qual è il problema con il seguente argomento? Una passeggiata casuale su un grafico può essere descritta da una catena di Markov in cui gli stati sono i nodi. Allo stesso modo, si può rappresentare la stessa camminata da una catena di Markov in cui gli stati possono essere i bordi. (Ogni bordo contiene anche le informazioni sul nodo attualmente visitato.) Una volta ottenuta una catena Markov, è possibile utilizzare qualsiasi definizione / risultato delle catene Markov.

— Abuzer Yakaryilmaz,

Grazie per il commento. In realtà ho dimenticato di dire nodi distinti . Ho intenzione di modificare la domanda in questo momento.

— Fabrizio Silvestri,

Forse l'ho perso (mi spiace se è così), ma qual è l'URL del post SE?

Ho rimosso il post SE ... È vietato pubblicare la stessa domanda in due posti diversi.

— Fabrizio Silvestri,

dipende dal grafico particolare, giusto? puoi delineare qualcosa di noto su problemi simili?

— vzn,

Risposte:

da domande e risposte con te nei commenti sembra che tu sia interessato a studiare qualcosa definito come la distanza dello stack in questo set di diapositive, sulla modellazione matematica delle cache

definire la distanza dello stack di un riferimento in modo che corrisponda al numero di indirizzi di blocco univoci tra il riferimento corrente e il riferimento precedente allo stesso numero di blocco.

ha alcune analisi empiriche tramite benchmark. dice in generale che "non è nota la misurazione della località" delle richieste di cache e quindi propone la distanza di stack come tale misura. non lo mette in relazione con la teoria dei grafi casuale, anche se nei tuoi commenti si delinea una tale connessione. (sembra che la distanza dello stack potrebbe essere correlata alla miscelazione della catena markov ?)

sembra che tu sia interessato a modellare le prestazioni della cache o gli algoritmi di ottimizzazione considerando le richieste della cache come nodi di un grafico e gli spigoli come transizioni tra richieste adiacenti. non ho visto articoli che studiano la struttura di questo grafico. sembra dimostrare che non è un grafico puramente casuale in applicazioni reali a causa del successo delle cache nella pratica e di ciò che viene indicato come località spaziale e temporale nelle diapositive di cui sopra. vale a dire una sorta di "raggruppamento" come joe disegna nella sua risposta.

(forse ha una piccola struttura mondiale ?, che è abbastanza onnipresente nei dati del mondo reale)

— VZN
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Bella presa. Anzi, ha una piccola struttura mondiale. In effetti, nell'applicazione ho in mente che la distribuzione dei gradi segue una legge di potere. Ora, questo può aiutare ... Comunque, non abbiamo trovato un buon modo per andare :)

— Fabrizio Silvestri,

grazie. quale parametro di cache stai cercando di ottimizzare? sembra che sia in qualche modo correlabile direttamente con l'esponente della legge del potere ...? sospetto che i semplici approcci di monte carlo potrebbero mostrare che la distanza dello stack è correlata all'esponente della legge del potere ecc.

— vzn,

α

$\alpha$

α

$\alpha$

= 1, < 1, > 1

$=1, < 1, > 1$

sembra che la distanza dello stack non sia stata studiata direttamente nella teoria dei grafi ma è un vasto campo. nota che il modello watt / strogatz è buono per gli approcci di monte-carlo che generano piccoli grafici del mondo. anche passeggiate casuali su un grafico di lovasz è una buona indagine sulla teoria delle passeggiate su grafici casuali.

— vzn,

Un commento: di recente ho partecipato a un discorso di Bruce Reed dal titolo Catching a Drunk Miscreant , che è stato un lavoro congiunto con Natasha Komorov e Peter Winkler. Se riesci a ottenere i risultati di questo lavoro, forse questo potrebbe aiutarti in qualche direzione.

In generale, dimostrano un limite superiore al numero di passaggi necessari a un poliziotto in un grafico generale per essere in grado di catturare un ladro, quando sappiamo che il ladro si muove a caso lungo i bordi.

— Pål GD
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Qualche possibilità di avere una bozza o una copia delle diapositive?

— Fabrizio Silvestri,

Mi dispiace di non avere altro da dare, ma forse questo thread MO è di aiuto: sbirri e ladri ubriachi .

— Pål GD,

Grazie Pål ... Sto guardando il foglio collegato dal thread MO.

— Fabrizio Silvestri,

Questa non è davvero una risposta adeguata alla tua domanda, ma è un po 'troppo lunga per un commento.

La quantità richiesta varia da un grafico all'altro e dipenderà dal sito iniziale del walker. Il numero previsto di nodi intermedi distinti dipenderà fortemente dal clustering all'interno del grafico e mi aspetterei che il numero previsto di nodi intermedi distinti sia correlato al coefficiente di clustering .

Un cluster è fondamentalmente un sottoinsieme di vertici che condividono un gran numero di spigoli, in modo che ciascun vertice sia collegato a una grande frazione degli altri vertici all'interno del cluster. Quando un walker entra in un cluster, è probabile che rimanga in quella regione per un gran numero di salti, eventualmente rivisitando ogni nodo molte volte. In effetti, l'uso di passeggiate casuali in questo modo è una delle tecniche computazionali utilizzate per identificare i cluster in grafici di grandi dimensioni. Pertanto, per un walker che inizia in un cluster, il numero previsto di vertici intermedi distinti probabilmente si ridimensionerà con la dimensione del cluster e la probabilità media di lasciare il cluster.

$N$ $\frac{1}{N}$ $N+1$

Anche il grado medio di vertici all'interno del grafico svolgerà un ruolo importante, sebbene questo sia collegato al clustering. La ragione di ciò è che quando il deambulatore salta su un vertice con grado 1, deve tornare al vertice precedente sul salto successivo. Anche quando il grado è 2, c'è solo un percorso che può essere seguito attraverso il grafico, sebbene possa essere attraversato in entrambe le direzioni ad ogni salto. D'altra parte, per i grafici con un grado superiore a 2, il numero di percorsi può esplodere, rendendo estremamente improbabile che torni al sito iniziale anche se il percorso più breve tra questi è piccolo.

Pertanto, ci si aspetterebbe che il numero di vertici intermedi distinti sia elevato per i grafici che hanno entrambi un grado medio sostanzialmente superiore a 2 e inoltre non hanno cluster significativi, come gli alberi.

Naturalmente questi commenti non valgono più nel caso di passeggiate casuali quantistiche, ma immagino che ti interessi solo al caso classico.

— Joe Fitzsimons
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