Un parametro grafico probabilmente correlato alla larghezza dell'albero

Sono interessato a grafici su $n$ vertici che possono essere prodotti tramite il seguente processo.

1. Inizia con un grafico arbitrario $G$ su $k\le n$ vertici. Etichetta tutti i vertici in $G$ come inutilizzati .
2. Produrre un nuovo grafico $G'$ aggiungendo un nuovo vertice $v$ , che è collegato ad uno o più inutilizzati vertici in $G$ , e non è collegato ad alcuna usati vertici in $G$ . Etichetta $v$ come inutilizzata .
3. Etichetta uno dei vertici in $G'$ a cui $v$ è collegato come usato .
4. Impostare $G$ su $G'$ e ripetere dal passaggio 2 fino a quando $G$ contiene $n$ vertici.

Chiamare tali grafici "grafici di complessità $k$ " (scuse per la vaga terminologia). Ad esempio, se $G$ è un grafico di complessità 1, $G$ è un percorso.

Vorrei sapere se questo processo è stato studiato in precedenza. In particolare, per arbitrario $k$, NP è completo per determinare se un grafico ha complessità $k$ ?

Questo problema appare in qualche modo simile alla domanda se $G$ sia un k -tree parziale$k$ , cioè abbia la larghezza dell'albero $k$ . È noto che determinare se $G$ ha una larghezza di albero $k$ è NP-completo. Tuttavia, alcuni grafici (ad esempio le stelle) possono avere una larghezza degli alberi molto più piccola rispetto alla misura della complessità discussa qui.

4 ottobre 2012: domanda inviata a MathOverflow dopo una settimana senza risposta conclusiva (anche se grazie per le informazioni sui flussi causali).

Anche se abbiamo già parlato di questo in prima persona, lo aggiungerò nella speranza che ciò consenta a qualcun altro di fornire una risposta completa.

Nel processo di aggiunta dei vertici, definire una funzione parziale da ciascun vertice v che viene utilizzato, al vertice che è stato aggiunto quando v è stato utilizzato. Quindi si scopre che f è una funzione di flusso (causale) (p. 39), che è una versione limitata di una copertura del percorso. In effetti, la tua descrizione di questi grafici di "complessità k " (dato un insieme di vertici che devono essere i vertici inizialmente inutilizzati e i vertici inutilizzati finali) è precisamente la decomposizione stellare di una "geometria" con un flusso causale (p. 46 del precedente articolo).$f:V(G) \rightharpoonup V(G)$$v$$v$$f$

Sebbene questi "flussi causali" siano stati studiati principalmente nel contesto del calcolo quantistico (basato sulla misurazione) - dove sono motivati ​​da determinate strutture di circuiti unitari - ci sono risultati teorico-grafici su di essi che sono totalmente separati dal calcolo quantistico:

Endpoint del modulo di unicità : i grafici con "complessità  " sono esattamente quelli per i quali esistono (eventualmente intersecando) insiemi S , T ⊆ V ( G ) , entrambi di dimensione k , in modo che G abbia esattamente una copertura del percorso di dimensione k i cui percorsi inizia in S e terminare in T .$k$$S,T \subseteq V(G)$$k$$G$$k$$S$$T$

Grafici estremi : un grafico su vertici che ha "complessità k " ha al massimo k n - ( k + $n$$k$ bordi.$kn - \binom{k+1}{2}$

Usando questi risultati, e data una coppia candidata di insiemi , determinando se "sottendono" o no una copertura del percorso univoca in questo modo può essere determinata nel tempo O ( k 2 n ) ; ma scoprire se esistono o meno insiemi di endpoint tale è l'apparente difficoltà e il risultato estremo sopra (che è solo una condizione necessaria) sembra rappresentare lo stato dell'arte in criteri efficienti per determinare se tali insiemi esistono.$S,T$$O(k^2 n)$

Tutti i grafici della complessità hanno la larghezza del percorso al massimo k . Ad ogni passaggio l'insieme di nodi non utilizzati è un separatore che separa i nodi utilizzati da quelli già creati. Quindi ad ogni passo, quando aggiungi un vertice, puoi creare un sacchetto contenente quel vertice più tutti i vertici inutilizzati e collegare il sacchetto alla fine della decomposizione del percorso. Questa sarà una decomposizione del percorso valida.$k$$k$

A causa della "cui è collegata" ai punti 3 e 2 la larghezza del percorso può essere molto più piccola di k . Non sono sicuro di decidere se G sia una complessità k , ma come dice Niel, deve esserci una copertura del percorso di dimensione k, ma non solo una copertura del percorso, i percorsi devono essere indotti. E tra i percorsi possiamo avere questo schema a zig-zag. Possiamo calcolare f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) tempo una decomposizione ottimale del percorso, quindi possiamo usare questa decomposizione per fare una programmazione dinamica, tenendo traccia dei diversi segmenti di questi $v$$k$$G$$k$$f(k) \cdot poly(n)$$k$percorsi, a quale percorso appartengono e all'ordine dei segmenti appartenenti allo stesso percorso. E per ogni coppia di segmenti appartenenti a percorsi diversi dobbiamo solo conoscere il primo e l'ultimo percorso dello zig-zag.

Quindi penso che possiamo decidere se un grafico ha complessità in f ( k ) ⋅ p o l y ( n ) time.$k$$f(k) \cdot poly(n)$