Tutte le funzioni il cui peso quadruplo è concentrato sui set di piccole dimensioni sono calcolate dai circuiti AC0?

Tutte le funzioni il cui peso di quadruplo è concentrato su insiemi di piccole dimensioni (o termini con basso grado) sono calcolate da ? $\mathsf{AC}^0$

— Stattrav
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Questa domanda sembra interessante, anche se mi manca un po 'di background nell'analisi di Fourier. Gradirei riferimenti alla letteratura correlata.

— Markus,

@Markus: questo libro 2.0 di Ryan O'Donnell è un riferimento eccellente: contrib.andrew.cmu.edu/~ryanod

— Alessandro Cosentino,

quasi il contrario di Linial, Mansour, Nissan 1993 ? risultato aaronsons, controesempio a Linial-Nissan generalizzato sembra vicino? ma imho ci deve essere un modo per generalizzare il risultato del 1993 in qualche modo ... forse in grande stile ....

— vzn

un'altra idea simile invece di AC ^ 0, più difficile da confutare, sarebbe la profondità illimitata, ma i circuiti limitati del gate totale delimitati da una funzione "piccola" dicono il polinomio ecc ...? inoltre, la relazione tra circuiti monotoni e coefficienti di Fourier non è così ben nota ...?

— vzn

vedi anche indipendenza pollogaritmica sciocchi AC ^ 0 circuiti di braverman

— vzn

Risposte:

No. Considera la seguente funzione su : Chiaramente questa funzione è difficile per AC ⁰ . D'altra parte, la funzione è quasi costante, quindi quasi tutto il suo spettro di Fourier è al primo livello. $\{0,1\}^n$

f (X) = X_{0} \land \dots \land X_{n - \sqrt{n} - 1} \land (X_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus X_{n - 1}) .

$f(x) = x_0 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1}).$

Se si desidera un controesempio bilanciato, considerare Questa funzione è quasi sempre uguale a , quindi quasi tutto il suo spettro di Fourier è sui primi due livelli.

g (X) = X_{0} \oplus [X_{1} \land \dots \land X_{n - \sqrt{n} - 1} \land (X_{n - \sqrt{n}} \oplus \dots \oplus X_{n - 1})] .

$g(x) = x_0 \oplus \left[x_1 \land \cdots \land x_{n-\sqrt{n}-1} \land (x_{n-\sqrt{n}} \oplus \cdots \oplus x_{n-1})\right].$

x_{0}

$x_0$

— Yuval Filmus
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Hai qualche esempio valido in cui la funzione non può essere approssimata in AC0?

— MCH

Una funzione concentrata sui primi livelli è sempre vicina a una funzione in base agli input , quindi se siamo interessati solo ai livelli , allora non ci sono esempi validi.

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

O (1)

$O(1)$

— Yuval Filmus,

@YuvalFilmus Cosa significa livello di spettro di Fourier? Perché questa funzione è difficile per

A C^{0}

$AC^0$

@Arul Un livello di Fourier è costituito da tutti i coefficienti di Fourier corrispondenti a insiemi di una determinata dimensione. Li pensiamo come ordinati in ordine crescente di dimensioni. Per quanto riguarda il motivo per cui questa funzione è difficile per AC0, questo è un esercizio. Suggerimento: la parità è difficile per AC0.

— Yuval Filmus,

Esistono diversi modi per comprendere la domanda in base al significato preciso di "piccola dimensione" e "concentrato".

$1-o(1)$ $S$ $1-o(1)$ ${\rm AC^0}$

2) Esiste un teorema di Bourgain secondo cui se la concentrazione è ben al di sopra di quella della funzione maggioritaria, allora la funzione è approssimativamente una giunta, e quindi dipende dalle variabili O (1).

$\hat f^2(S)$ $AC^0$ ${\rm polylog} (n)$

$O(\log n)$ $AC^0$

$O(polylog (n))$ $n^{polylog (n)}$

— Gil Kalai
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