Complessità della potenza della matrice

Sia una matrice di numeri interi quadrati e sia un numero intero positivo. Sono interessato alla complessità del seguente problema decisionale: $M$ $n$

L'entrata in alto a destra di positiva? $M^n$

Si noti che l'approccio ovvio della quadratura iterata (o di qualsiasi altro calcolo esplicito) richiede che gestiamo potenzialmente numeri interi di grandezza doppiamente esponenziale, cioè che hanno esponenzialmente molti bit. Tuttavia, si vede facilmente il problema nella classe "PosSLP" di Allender et al. ( "Sulla complessità dell'analisi numerica", SIAM J. Comput.38 (5) ), e quindi nel quarto livello della gerarchia dei conteggi .

1) È possibile collocare questo problema di alimentazione della matrice in una classe di complessità inferiore?

2) In caso contrario, potrebbe essere plausibile PosSLP-hard?

3) Sono particolarmente interessato al problema della potenza di matrice per matrici a bassa dimensione, ovvero fino a matrici 6x6 incluse. La complessità potrebbe essere inferiore per tali matrici?

cc.complexity-theory linear-algebra matrices

— Joel
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Il titolo non dovrebbe essere cambiato in "Complessità del potere della matrice"? L'esponenziazione della matrice (vedi ad es. En.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential ) è generalmente intesa come "A = exp (B)" per le matrici A, B.

— Martin Schwarz,

Lo modificherò. è un buon punto, @MartinSchwarz

— Suresh Venkat,

Se trasformi la matrice in forma PDP-1 (che per una matrice piccola e una potenza sufficientemente elevata di n può essere considerata costante), allora puoi conoscere banalmente il segno di ogni voce delle voci diagonali. Quindi è facile capire le restanti due moltiplicazioni di matrice.

— Robert Mason,

@Robert Mason: non sono esattamente sicuro di cosa stai suggerendo. Se D è la forma canonica giordana di M, in modo che M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P, le voci di D saranno in genere numeri algebrici complessi, quindi cosa intendi con il loro "segno"? Sono d'accordo che puoi calcolare D e P in tempo polinomiale (assumendo rappresentazioni standard di numeri algebrici), ma l'espressione che ottieni per la voce in alto a destra di M ^ n = P ^ (- 1) D ^ n P sarà un'espressione coinvolgendo vari numeri algebrici elevati alla potenza n, e non vedo come sia possibile determinare il segno di questa espressione in modo efficiente.

— Gioele,

@Robert Mason: ancora non capisco - come / perché è efficiente per le matrici invertibili? (E per inciso, la maggior parte delle matrici sono invertibili, piuttosto che il contrario.)

— Joel

Per matrici di dimensioni il problema della positività della potenza della matrice è in (cfr. Questo documento apparirà in STACS 2015) $k = 2,3$ $\mathsf{P}$

— Samid
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Non ho potuto resistere alla pubblicazione di questo! :-)

— SamiD