Problemi che possono essere utilizzati per mostrare i risultati della durezza del tempo polinomiale

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Quando si progetta un algoritmo per un nuovo problema, se non riesco a trovare un algoritmo temporale polinomiale dopo un po ', potrei provare a dimostrare che è NP-difficile. Se ci riesco, ho spiegato perché non sono riuscito a trovare l'algoritmo del tempo polinomiale. Non è che io sappia per certo che P! = NP, è solo che questo è il meglio che si può fare con le conoscenze attuali, e in effetti il consenso è che P! = NP.

Allo stesso modo, supponiamo di aver trovato una soluzione in tempo polinomiale per qualche problema, ma il tempo di esecuzione è . Dopo molti sforzi, non faccio progressi nel miglioramento. Quindi, invece, potrei provare a dimostrare che è 3SUM-difficile invece. Questo di solito è uno stato soddisfacente, non a causa della mia suprema convinzione che 3SUM richiede davvero tempo , ma perché questo è lo stato dell'arte attuale, e molte persone intelligenti hanno cercato di migliorare e hanno fallito. Quindi non è colpa mia se è il meglio che posso fare. $O(n^2)$ $\Theta(n^2)$

In questi casi, il meglio che possiamo fare è un risultato di durezza, al posto di un limite inferiore effettivo, poiché non abbiamo limiti inferiori super-lineari per le macchine di Turing per problemi in NP.

Esiste una serie uniforme di problemi che possono essere utilizzati per tutti i tempi di esecuzione polinomiali? Ad esempio, se voglio dimostrare che è improbabile che qualche problema abbia un algoritmo migliore di , c'è qualche problema X tale che posso mostrare che è X-hard e lasciarlo a quello? $O(n^7)$

Aggiornamento : questa domanda originariamente chiedeva famiglie di problemi. Poiché non ci sono molte famiglie di problemi, e questa domanda ha già ricevuto eccellenti esempi di singoli problemi difficili, sto rilassando la domanda a qualsiasi problema che può essere utilizzato per i risultati della durezza del tempo polinomiale. Sto anche aggiungendo una generosità a questa domanda per incoraggiare più risposte.

cc.complexity-theory lower-bounds conditional-results

— Robin Kothari
fonte

5

La pagina maven.smith.edu/~orourke/TOPP/P11.html sintetizza alcuni risultati sui limiti inferiore (e superiore) di 3SUM e sui relativi problemi e vale la pena di leggerlo.

— Tsuyoshi Ito,

2

L'assenza di limiti inferiori superlineari è per una TM con almeno due nastri, non è vero? Ricordo di aver letto da qualche parte che il controllo di un palindromo su una TM a nastro singolo ha un limite inferiore del tempo quadratico. Quando parliamo di limiti inferiori all'interno di , del tipo vs. , è ancora OK supporre che il modello esatto di TM non contenga molto?

P

$P$

Ω (n^{i})

$\Omega(n^i)$

Ω (n^{i + 1})

$\Omega(n^{i+1})$

— gphilip,

3

Fuori tema: Robin, Tsuyoshi, grazie per aver introdotto la famiglia di limiti inferiori 3SUM: non ne avevo mai sentito parlare prima.

— gphilip,

2

@Tsuyoshi: grazie per l'informazione. Questo è un bel sondaggio sull'argomento: cs.mcgill.ca/~jking/papers/3sumhard.pdf . @gphilip: recentemente sono stato introdotto a questo problema da alcuni geometri computazionali. Immagino sia molto noto in quella zona.

— Robin Kothari,

Ottima domanda Potresti chiarire cosa intendi con "uniforme": vuoi limitare la quantità di preelaborazione del parametro?

— András Salamon,

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Sì, l'algoritmo più noto per -SUM viene eseguito nel tempo , quindi è molto probabile che tu possa sostenere qualche problema è difficile, perché se è in allora puoi risolvere -SUM più velocemente. $k$ $O(n^{\lceil k/2 \rceil})$ $n^7$ $n^{6.99}$ $14$

Nota che il problema -SUM diventa "più facile" con l' aumentare di : dato un algoritmo migliorato per -SUM, è abbastanza facile ottenere un algoritmo migliorato per -SUM: prendi tutte le coppie di numeri nel tuo data l' istanza -SUM, sostituendo ciascuna coppia con la somma delle due e cerca una somma di numeri tra quelli uguali a . Quindi, un algoritmo per -SUM implica un algoritmo per -SUM. Detto in altro modo, un limite inferiore stretto per $k$ $k$ $k$ $2k$ $O(n^2)$ $n$ $2k$ $k$ $0$ $O(n^{k/2-\varepsilon})$ $k$ $O(n^{k-2\varepsilon})$ $2k$ $2k$ -SUM è un presupposto più forte di un limite inferiore stretto per -SUM. $k$

Un altro candidato per un problema difficile è -Clique. Vedere la mia risposta -Clique per ulteriori informazioni al riguardo . Se puoi mostrare (per esempio) che un algoritmo migliore per il tuo problema implica un algoritmo per clique, allora sarebbe necessario un super-breakthrough per migliorare il tuo algoritmo. La complessità parametrizzata fornisce molti esempi di altri problemi come questo: -Clique è difficile per la classe e -SUM è difficile per . $k$ $O(\log n)$ $O(n^2)$ $3$ $k$ $W\[1\]$ $k$ $W\[2\]$

Lascia che ti avverta che sebbene problemi come questo siano molto convenienti con cui lavorare, problemi come SUM non sono tra i "più difficili" in , ad esempio, è molto improbabile che ogni problema in può effettivamente essere ridotto a tempo lineare a -SUM. Questo perché -SUM può essere risolto con bit di non determinismo in tempo lineare, quindi se tutto in tempo quadratico può essere ridotto a SUM, allora e altri risultati fantastici. Maggiori informazioni su questo punto sono disponibili nell'articolo "Quanto sono difficili i problemi di -hard?" $3$ $TIME[n^2]$ $TIME[n^2]$ $3$ $3$ $O(\log n)$ $3$ $P \neq NP$ $n^2$ (Ad un certo punto, "3SUM-hard" è stato chiamato " -hard"; questo articolo di SIGACT si è giustamente lamentato di quel nome.) $n^2$

— Ryan Williams
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L'unico problema che ho con l'uso di k-clique è che la 3-cricca è risolvibile in . Se fosse il caso che k-clique sembrasse richiedere , sarebbe una grande famiglia naturale da usare.

O (n^{2} .376)

$O(n^2.376)$

Θ (n^{k})

$\Theta(n^k)$

— Robin Kothari,

Non vedo una differenza fondamentale tra l'uso di -SUM e -Clique. -SUM è in anche per . Se puoi dimostrare che un algoritmo migliore per il tuo problema implica che -Clique è in , questa è una prova evidente che sarà difficile trovare un algoritmo migliore per il tuo problema.

k

$k$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

k

$k$

k

$k$

O (n^{k / 2})

$O(n^{k/2})$

— Ryan Williams,

riferimento pulito, Ryan. Mi vergogno di non averlo saputo prima, dato quanto 3SUM sia popolare nella comunità della geometria. Naturalmente questo pone la domanda: ci sono candidati naturali per essere difficili?

n^{2}

$n^2$

— Suresh Venkat,

@Ryan: hai ragione, sono gli stessi. Sebbene, con k-SUM, almeno abbiamo prove in modelli più deboli che il limite congetturato sia corretto. Non conosco argomenti che suggeriscano che la cricca 3 non dovrebbe essere risolvibile più velocemente della moltiplicazione di matrici.

— Robin Kothari,

@Robin: avrei pensato che qualsiasi naturale famiglia di problemi con probabili limiti inferiori, per , sarebbe una buona risposta. La costante precisa sembra meno importante?

n^{f (k)}

$n^{f(k)}$

f (k) = Θ (k)

$f(k) = \Theta(k)$

— András Salamon,

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Si ritiene che il problema APSP (All-Pairs Shortest Paths) richieda tempo . Ridurlo è un ottimo modo per sostenere che sono improbabili miglioramenti basati sulla moltiplicazione a matrice rapida (FMM). $\Omega^\star(n^3)$

— Mihai
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2

Che ne dici del diametro di un grafico? Meglio ancora, rendilo un problema decisionale "Il diametro è almeno k?". Questo ha il vantaggio di non avere alcun limite superlineare evidente, per quanto ne so.

— Raffaello,

9

Si ritiene che i migliori algoritmi per il problema della degenerazione affine nello spazio dimensionale vengano eseguiti nel tempo . Il problema è il seguente: Dati punti nello spazio dimensionale con coordinate intere, ci sono punti su un iperpiano comune? $d$ $O(n^d)$ $n$ $d$ $d+1$

Il problema della degenerazione affine è -SUM difficile. Se inseriamo il limite inferiore ipotizzato per -SUM, otteniamo un limite inferiore di . Tuttavia, la congettura per la complessità del problema della degenerazione affine è molto più forte per . $(d+1)$ $k$ $\Omega(n^{\lfloor d/2 \rfloor +1})$ $d \geq 3$

J. Erickson, S. Har-Peled e DM Mount, On the Least Median Square Problem, Discrete and Computational Geometry, 36, 593-607, 2006. http://www.cs.umd.edu/~mount/Papers /dcg06-lms.pdf

J. Erickson e R. Seidel. Limiti inferiori migliori nella rilevazione di degenerazioni sane e sferiche. Computo discreto. Geom., 13: 41–57, 1995. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/degen.html

J. Erickson. Nuovi limiti inferiori per problemi di scafo convesso in dimensioni dispari. SIAM J. Comput., 28: 1198–1214, 1999. http://compgeom.cs.uiuc.edu/~jeffe/pubs/convex.html

— Guilherme D. da Fonseca
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Mi piace questa risposta, ma potresti spiegarmi? Perché si crede?

— Aaron Sterling,

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Si ipotizza che il problema di Hopcroft richieda il tempo di : dato un insieme di punti e un insieme di linee nel piano, c'è qualche punto su una linea? $\Theta(n^{4/3})$ $n$ $n$

— Jeffε
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7

ci sono problemi non geometrici che riducono al problema di Hopcroft?

— Suresh Venkat,

Ho deciso di assegnare la generosità a questa risposta perché non avevo mai sentito parlare di questo problema prima.

— Robin Kothari,