BQP è uguale a BPP con accesso a un oracolo di sottogruppo nascosto abeliano?

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— Jason
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In realtà c'è una buona dose di lavoro sui problemi dei sottogruppi nascosti non abeliani nella ricerca sugli algoritmi quantistici, quindi spero sicuramente che non sia così!

— Joe Fitzsimons,

@Joe: Pensavo che la maggior parte del lavoro sugli HSP non abeliani fosse per gruppi che sono in qualche modo "vicini ad Abelian" - ma per favore correggimi se sbaglio, dato che non sono un esperto della zona. Ma in tal caso, una risposta positiva alla domanda potrebbe non contraddire le opere a cui ti riferisci.

— Joshua Grochow,

Risposte:

Come molte separazioni di classe di complessità, la nostra ipotesi migliore è che la risposta è che BPP ^ {HSP}! = BQP, ma possiamo solo dimostrarlo rigorosamente rispetto agli oracoli. Questa separazione è stata osservata da Scott Aaronson in questo post sul blog in cui ha osservato che l' accelerazione di alberi saldati di Childs, Cleve, Deotto, Farhi, Gutmann e Spielman non era contenuta in SZK.

D'altra parte, BPP ^ {HSP} è contenuto in SZK, almeno se l'obiettivo è determinare la dimensione del sottogruppo nascosto. Ciò include anche l'HSP abeliano, anche se non sono sicuro di come trovare esattamente i generatori di un sottogruppo nascosto arbitrario in SZK. Il motivo per cui possiamo decidere la dimensione del sottogruppo nascosto è che se f: G-> S ha un sottogruppo nascosto H, e scegiamo g uniformemente a caso da G, quindi f (g) è uniformemente casuale su un set di dimensioni | G | / | H |. In particolare, f (g) ha il log di entropia | G | - log | H |. E la stima dell'entropia è in SZK.

— Aram Harrow
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Sapevo di aver visto un post sul blog da qualche parte su questo!

— Joe Fitzsimons,

Non ho idea di come si possa confutare un'affermazione del genere, ma dubito che sia vero. Abbiamo altri accelerazioni esponenziali con algoritmi quantistici che non si basano sull'HSP abeliano. Inoltre, Abelian HSP non è noto per essere completo BQP.

D'altra parte, i problemi che sono noti per essere completi di BQP sono problemi come il calcolo degli invarianti di nodi, altre molteplici invarianti, funzioni di partizione e la simulazione Hamiltoniana. Con un oracolo per uno di questi problemi, BPP sarebbe potente come BQP.

Infine, sono sicuro che uno può costruire una separazione dell'oracolo tra le due classi che menzioni, ma non sarebbe un modo equo di confrontarle poiché una classe può fare query quantistiche e l'altra no, quindi la separazione rifletterebbe semplicemente questo fatto .

— Robin Kothari
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quali sono i riferimenti ai problemi con accelerazioni superpolinomiali che non si basano sull'HSP abeliano?

— Marcos Villagra,

una domanda più precisa è "quali sono i riferimenti ai problemi con accelerazioni superpolinomiali che non si basano affatto sull'HSP?"

— Marcos Villagra,

Lo zoo di algoritmi quantistici ( its.caltech.edu/~sjordan/zoo.html ) ha un ampio elenco di algoritmi e riferimenti per ciascuno.

— Robin Kothari,

@Joshua: Queste separazioni dell'oracolo vanno bene, perché stanno cercando di mostrare il potere delle query quantistiche. Lasciami fare un esempio di cosa intendo. Se esistesse un algoritmo polytime per 3SAT e questo algoritmo si chiamasse X. Chiaramente P ^ X contiene NP. Tuttavia, possiamo costruire una separazione dell'oracolo tra P ^ X e NP, perché nel primo caso solo la macchina P può accedere all'oracolo, e la separazione riflette semplicemente il fatto che le query non deterministiche sono migliori delle query deterministiche. Allo stesso modo, anche se BPP ^ AHSP contenesse BQP, potremmo separarli con un oracolo abbastanza facilmente.

— Robin Kothari,

Grazie per tutte le risposte In particolare, grazie per avermi ricordato i polinomi Jones e HOMFLY, che non hanno nulla a che fare con gli HSP. Valutare il polinomio di Jones esattamente alla quinta radice dell'unità è # P-difficile, ma approssimarlo fino a una frazione epsilon con una certa accuratezza probabilistica è in BQP.

— Jason,

Sono d'accordo con Robin sul fatto che questa non è necessariamente un'affermazione facile da confutare, sebbene sia quasi certamente falsa. Una ragione immediata che mi fa dubitare è che il calcolo quantistico post-selezionato sia uguale a PP, e questo sembrerebbe suggerire che le statistiche sarebbero difficili da ricreare. Scott Aaronson ha un articolo allo STOC che mostra che esiste un problema di relazione oracolare che è risolvibile in BQP ma non in PH.

Inoltre, Scott sembra anche avere un risultato che mostra che un campionamento classico efficiente dell'output dello scattering bosone implicherebbe (il lattice non consente # qui), il che sembra incredibilmente improbabile. Penserei che otterrai un risultato simile anche se permetti un oracolo di sottogruppo nascosto abeliano. Naturalmente questo implica anche una barriera nel decidere la tua domanda, poiché se il problema del sottogruppo nascosto abeliano fosse in P, una risposta affermativa implicherebbe il collasso della gerarchia polinomiale. $BPP^{NP} = P^{\#P}$

— Joe Fitzsimons
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P ^ {# P} = P ^ {PP}, quindi puoi usarlo.

— Robin Kothari,

Sì, sarebbe stata la cosa intelligente da fare!

— Joe Fitzsimons,