Cliquewidth of Almost Cographs

(Ho inviato questa domanda a MathOverflow due settimane fa, ma finora senza una risposta rigorosa)

Ho una domanda sulle misure di larghezza del grafico di grafici semplici non indirizzati. È noto che le cographs (grafici che possono essere costruiti dalle operazioni di unione e complementazione disgiunte, a partire da vertici isolati) presentano al massimo 2. larghezza della cricca (Courcelle et al, Limiti superiori alla larghezza della cricca dei grafici). Ora considera alcuni interi fissi non negativi k e considera la classe di grafici di grafici tale che per ogni G = ( V , E ) ∈ G k esiste un insieme S di al massimo k vertici tale che G [ V - S ] è una cograph. Dal momento che la classe grafica $\mathcal{G} _k$$G = (V,E) \in \mathcal{G} _k$$S$$G[V - S]$ può anche essere visto come la classe di grafici che può essere costruita con i grafici aggiungendo al massimo k vertici, questa classe è stata anche chiamata cographs + k v .$\mathcal{G} _k$$k$$kv$

La mia domanda è: che cosa è un limite stretto alla larghezza di cricca dei grafici in , cioè i grafici che possono essere trasformati in una cograph cancellando k vertici?$\mathcal{G}_k$

È noto che se un grafo è ottenuta da H eliminando k vertici poi c w ( H ) ≤ 2 k ( c w ( G ) + 1 ) . Ciò dimostra che se una grafia G può essere ottenuta da un grafico H eliminando k vertici, allora c w ( H ) ≤ 2 k ( 3 + 1 ) , e quindi la larghezza di cricca di un grafico in G$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (cw(G) + 1)$$G$$H$$k$$cw(H) \leq 2^k (3 + 1)$$\mathcal{G}_k$è al massimo . Non sono sicuro se questa dipendenza esponenziale da k sia necessaria. In questo contesto sarei anche interessato alla massima riduzione della larghezza della cricca eliminando un vertice; cioè se cancelliamo un singolo vertice da un grafico, quanto può diminuire la larghezza della cricca?$4*2^k$$k$

Cercherò di rispondere a questa tua vecchia domanda, anche se non sono sicuro che la mia risposta sia definitiva, ma dovrebbe indirizzarti nella giusta direzione.

$k$$1$

Gurski e Wanke hanno mostrato in "Sul rapporto tra larghezza NLC e larghezza NLC lineare" che i grafici hanno larghezza di cricca lineare illimitata.

Dal momento che le stampe hanno una larghezza della cricca lineare illimitata ma una larghezza della cricca limitata, ogni buona decomposizione della cricca deve avere una struttura ad albero. Dobbiamo dimostrare che possiamo forzare arbitrariamente molti rami profondi. Ora facciamo come facciamo per gli alberi, costruiamo un albero con 2 ^ k foglie aggiungiamo k vertici e ogni foglia è collegata a un sottoinsieme unico di nuovi vertici.