Prove, barriere e P vs NP

25

È noto che qualsiasi prova che risolva la domanda P vs NP deve superare la relativizzazione , le prove naturali e le barriere di algebrizzazione . Il diagramma seguente suddivide lo "spazio di prova" in diverse regioni. Ad esempio, $RN$ corrisponde all'insieme di prove che relativizzano e naturalizzano. $GCT$ (Geometric Complexity Theory) è ovviamente la regione rigorosamente esterna.

Nomina alcune prove insieme alle regioni più conosciute a cui appartengono. Metterli in un modo migliore Per esempio, se una prova si caratterizza per relativizzare, alla Natura e algebrize allora dovrebbe essere posto in $RNA$ non solo in $RN$ . Se una prova si relativizza ma non si naturalizza, appartiene a $R$ e così via. ${\setminus}$ $N$

testo alternativo

— Shiva Kintali
fonte

Ma ci sono prove valide conosciute di P vs NP?

— gphilip,

2

Penso che questa sia una classica domanda in CW.

— Suresh Venkat,

@gphilip Stiamo parlando di prove limite inferiore nella teoria della complessità in generale.

— Shiva Kintali,

@Suresh Posizionare le prove in queste regioni è estremamente banale. Le persone che inviano risposte dovrebbero essere ricompensate (con il voto più alto) per la loro conoscenza e comprensione di queste barriere. Cosa pensi ?

— Shiva Kintali,

Dopo aver letto la risposta di Suresh qui sotto, penso di aver ricevuto la domanda (correggimi se sbaglio): stai cercando le classificazioni del modulo "Se una prova che risolve P vs NP ha la proprietà X, allora appartiene alla regione Y nella immagine." Nella risposta di Suresh X è "Interattivo" e Y è al di fuori di R, possibilmente anche al di fuori di N.

— gphilip,

17

Penso che sia necessario ridisegnare il diagramma di Venn ... qualsiasi contenimento delle classi di complessità che si relativizza anche algebrizzerà, almeno nel senso di Aaronson e Wigderson. Cioè, l'accesso all '"estensione di basso grado" di un oracolo è solo più potente dell'accesso all'oracolo. Allo stesso modo, tutti gli oracoli che dimostrano che una separazione richiede tecniche "non algebrizzanti" implica che sono necessarie anche tecniche "non relativizzanti".

— Ryan Williams
fonte

Ciao Ryan, ho mantenuto il diagramma semplice in modo da poter discutere anche del "collasso" di queste regioni. Ad esempio, la tua risposta può essere riformulata come "

nel senso di Aaronson-Wigderson".

R \subseteq A

$R \subseteq A$

— Shiva Kintali,

4

Ciò che dice Ryan vale solo per il contenimento. Un risultato come P = NP implica P = PH relativizza ma non algebrizza.

— Lance Fortnow,

@Lance: grazie per il chiarimento. Quindi, ha senso lasciare il diagramma così com'è.

— Shiva Kintali,

3

L'ho appena visto ora ... in realtà, Scott e Avi danno anche diverse implicazioni "algebrizzanti". La loro nozione è certamente definita in modo tale da assumere la relativizzazione. (Per l'implicazione citata da Lance, probabilmente direbbero che l'implicazione algebrizzante è "

implica

")

P^{\tilde{A}} = N P^{\tilde{A}}

$P^{\tilde{A}} = NP^{\tilde{A}}$

P H^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}

$PH^{A} \subseteq P^{\tilde{A}}$

— Ryan Williams

13

Contrariamente ad alcune affermazioni precedenti in questo thread, non è noto che l'algebrizzazione nel senso di Aaronson & Wigderson abbia assunto la relativizzazione. Per esempio,

\begin{matrix} (†) & (\exists C : C \subset N E X P \land C ⊄ P / p o l y) ⟹ N E X P ⊄ P / p o l y \end{matrix}

$\tag{$\dagger$}(\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly})\implies \mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$

è un'affermazione che relativizza. (In effetti ha una prova relativizzante, qualunque cosa ciò possa significare per il lettore.) Ma non è noto algebrizzare, come accennato dagli stessi Aaronson e Wigderson nella Sezione 10.1 del loro articolo [1]. (Di conseguenza, mentre AW ci dice che nel diagramma sopra deve trovarsi all'esterno di , è concepibile che giace dentro!) $\mathsf{NEXP} \not\subset \mathsf{P/poly}$ $\mathrm {A}$ $\exists \mathcal{C}: \mathcal{C} \subset \mathsf{NEXP} \wedge \mathcal{C} \not \subset \mathsf{P/poly}$

Tuttavia, un recente lavoro di Eric Bach e io [2] fornisce una formulazione di algebrizzazione che presuppone la relativizzazione. Fondamentalmente, se prendiamo la nozione AW di un oracolo algebrico --- indicato come per un po 'di linguaggio --- e lo modifichiamo saggiamente, allora possiamo eliminare le patologie come sopra. $\tilde O$ $O$ $(\dagger)$

Il risultato è che l'algebrizzazione, se opportunamente definita, è la relativizzazione rispetto a un oracolo algebrico --- una relativizzazione algebrica, in cui ogni oracolo ottiene un "dondolio" --- che significa che è l'insieme vuoto nel diagramma sopra , quindi è così . $\mathrm{R} \setminus \mathrm{A}$ $\mathrm{RN}$

[1] http://www.scottaaronson.com/papers/alg.pdf
[2] http://eccc.hpi-web.de/report/2016/040/

PS: Un'altra formulazione per l'algebrizzazione è stata proposta da Impagliazzo, Kabanets e Kolokolova in precedenza, che colloca anche all'interno di , ma non è noto per essere potente come la nozione di AW. Vedi il mio articolo con Eric per un confronto. $\mathrm{R}$ $\mathrm{A}$

— Barış Aydınlıoğlu
fonte

Grazie Baris. Sono contento che qualcuno abbia finalmente trovato la nozione di algebrizzazione che fa formalmente quello che pensiamo dovrebbe :) :)

— Ryan Williams

11

I teoremi della gerarchia del tempo e dello spazio relativizzano. Sono uniformi, quindi non sembrano naturalizzarsi.

Penso che risultati di diagonalizzazione indiretta come i limiti inferiori di TimeSpace di Lance Fortnow, et al. e anche il risultato di Ryan Williams non si relativizza perché non sono una scatola nera (ma non ne sono sicuro). Le prove non sembrano naturalizzarsi poiché usano i teoremi della gerarchia.

$TC^0$

— Kaveh
fonte

7

Le prove interattive non si relativizzano. Non penso che si naturalizzino poiché sono uniformi.

— Suresh Venkat
fonte