Tempi di colpire quantistici in un colpo solo

Nell'articolo Quantum Random Walks Hit Exponentially Faster ( arXiv: quant-ph / 0205083 ) Kempe fornisce una nozione di tempo per colpire le passeggiate quantistiche (nell'ipercubo) che non è molto popolare nella letteratura delle passeggiate quantistiche. È definito come segue:

One-Shot Quantum Colpire Tempo: Una passeggiata a tempo discreto quantistica ha una $(T,p)$ one-shot $(|\Psi_0\rangle,|\Psi^f\rangle)$ tempo -hitting se $|\langle\Psi^f|U^T|\Psi_0\rangle|^2 \geq p$ dove $|\Psi_0\rangle$ è lo stato iniziale, $|\Psi^f\rangle$ è stato di destinazione, e $p>0$ è la probabilità di colpire.

Normalmente ti piacerebbe conoscere la minima $T$tale che $p>0$ . Non è possibile (correggimi se sbaglio) definire una nozione di tempo medio di colpire perché dovrai effettuare misurazioni durante la camminata, e questo lo farebbe crollare in una camminata classica. Ecco perché abbiamo l'idea di un colpo solo. Nello stesso lavoro, esiste un'applicazione per l'instradamento quantistico (cfr. Sezione 5 ).

Per sapere che la camminata è arrivata al vertice di destinazione, è necessario effettuare una misurazione solo su quel nodo. Ad esempio, nell'ipercubo $n$ dimensionale con $2^n$ nodi se si inizia dal nodo $|\Psi_0\rangle=|00\dots00\rangle$ e hanno come nodo di destinazione $|\Psi^f\rangle=|11\dots11\rangle$ , spettacoli carta che $T=O(n)$ con probabilità di errore limitato, cioè $p\to 1$ come $n$diventa molto grande. Quindi, al fine di rilevare che la passeggiata è arrivata a si effettua una misurazione dopo Ohm ( n ) passi. Questa è un'accelerazione esponenziale.$|11\dots11\rangle$$\Omega(n)$

Domande:

1. Per utilizzare questa nozione di tempo di risposta per la ricerca devi conoscere almeno la distanza del vertice target dall'origine, perché è così che sai quando applicare la misurazione. Diciamo che hai un grafico , e imposta come vertice iniziale v 0 e vuoi raggiungere v f . Assumere anche che T = O ( d i s t ( v 0 , v f ) ) e p ≥ 1 / 2 . Bene, $G$$v_0$$v^f$$T=O(dist(v_0,v^f))$$p\geq 1/2$$T$è ovvio perché sono necessari almeno molti passaggi per raggiungerlo. Ha senso usare questo tempo di risposta per la ricerca? Se sai dove si trova il nodo non c'è alcun significato nella ricerca, ma avere un'informazione come "distanza dal vertice iniziale" ma non sapere esattamente dove si trova l'obiettivo, questa nozione di colpire il tempo dà qualche interessante (vale la pena studiare ) algoritmo di ricerca?

2. Ha senso l'applicazione al routing quantistico? Nel documento afferma che può essere utilizzato per il routing dei pacchetti, ma mi sembra che puoi inviare solo 1 bit, ad esempio è arrivato a destinazione o no? Puoi effettivamente inviare uno stato quantico in questo framework? Nel documento questo problema non viene affrontato.

3. Questa è forse una domanda sciocca da porre, ma qui va. Puoi usare questa nozione di tempo di risposta per costruire un "Interferometro di Mach-Zender generalizzato"?

Sono a conoscenza delle altre nozioni sui tempi di battuta per passeggiate quantistiche (come quelle di Szegedy o di Ambainis ). Sono particolarmente interessato a questo tempo specifico di colpire.

Aggiornamento (24/09/2010): Grazie a Joe Fitzsimons, le domande 2 e 3 hanno avuto una risposta completa. Sebbene la domanda numero 1 rimanga ancora. In primo luogo, riaffermerò la domanda 2 in termini più specifici ora che ho finito di leggere il documento che Joe mi ha consigliato e un altro paio (ad esempio vedi arXiv: 0802.1224 ), e poi darò un esempio concreto di ciò che ho in mente per la domanda 1.

2' . Se stai inviando un messaggio concreto (come una sequenza di bit classici), puoi usare un unitario più complicato che copierà queste informazioni durante i passi della camminata. Per inviare stati quantici hai bisogno di qualcosa di più. Il canale spin-chain utilizza una matrice lineare di qubit con un accoppiamento fisso. Puoi mettere lo stato (stato puro, non so se funziona per stati misti) che vuoi trasmettere a un'estremità e va all'altra estremità con alta fedeltà in base ai risultati numerici. Devo ancora pensarci ancora, ma ho due idee: i) mettere una catena su ciascun collegamento del grafico, o ii) fare la passeggiata, trovare lo stato di destinazione, quindi creare il canale tra lo stato iniziale e la destinazione e quindi inviare lo stato. Qualcuno di questi approcci è plausibile? Funziona con stati misti?

1' . Considera una passeggiata su una griglia bidimensionale centrata nell'origine con nodi con ciascun lato di lunghezza $n$ . Impostare lo stato iniziale suv0=(0,0)e lo stato target suvf=($\sqrt{n}$$v_0=(0,0)$dovea=0,…,$v^f=(\sqrt{n}-1,a)$. Poiché la camminata è simmetrica, abbiamo lo stesso tempo di colpire e le stesse probabilità di colpire per qualsiasi bersaglio da qualche parte sul bordo della griglia come mostrato di seguito.$a=0,\dots,\sqrt{n}-1$

Pertanto l'informazione che abbiamo è che . Possiamo usarlo per sapere quando effettuare la misurazione. È possibile utilizzare il tempo di risposta one-shot per cercare in questa griglia? Qui hai bisogno di tali informazioni. Un problema aperto nella ricerca di una griglia è che sappiamo cheΩ($dist(v_0,v^f)=\Omega(\sqrt{n})$è un limite inferiore per la ricerca e per le griglie il limite superiore migliore èO($\Omega(\sqrt{n})$. O non siamo in grado di trovare un algoritmo migliore o le tecniche per dimostrare limiti inferiori quando li usi su griglie stanno dando un limite inferiore debole. Puoi mostrare che l'unico modo per andare sotto$O(\sqrt{n\log n})$ sta avendo "un pezzo di informazione" come quello nella domanda? Ciò implicherebbe un modo per dimostrare un limite inferiore per le reti. Ha senso?$\sqrt{n\log n}$

Non ho molta familiarità con questo documento, ma cercherò di dare una risposta approssimativa a ciascuna delle tue domande dopo una breve scrematura.

1. $O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$$O(\sqrt{n})$$T=O(\mbox{dist}(v_0, v^f))$
2. Suppongo che l'autore stia prendendo un intero pacchetto per fare una passeggiata casuale. Ovviamente questo richiede un unitario un po 'più complicato, ma non vedo davvero un problema. In alternativa, Burgarth e Bose hanno uno schema molto piacevole per codificare le informazioni attraverso grafici identici che funzionerebbe anche se si sostituissero semplicemente le loro catene 1d con la rete di scelta ( quant-ph / 0406112 ).
3. Bene, non hai davvero bisogno di questa nozione di colpire il tempo. Gli ipercubi hanno un perfetto trasferimento dello stato (vedere ad esempio quant-ph / 0309131 e quant-ph / 0411020 ), quindi è possibile visualizzare il trasporto su un ipercubo come un interferometro con l'interferometro Mach-Zender corrispondente al caso 2d.

AGGIORNAMENTO: (per rispondere alla domanda aggiornata relativa alle passeggiate casuali su una griglia o altro reticolo)

$v_t$$v^f$

Per quanto riguarda la domanda 1, conoscere la distanza tra il vertice di destinazione sconosciuto e alcuni vertici di origine noti sull'ipercubo può aiutare il processo di ricerca. Tuttavia, il valore della distanza stessa determina la quantità di informazioni utili.

Tipici algoritmi di camminata quantistica sono generalmente variazioni / approssimazioni della ricerca di Grover: implicano una rotazione approssimativa del vettore di stato in un sottospazio 2-d dello spazio di Hilbert totale.

È possibile utilizzare questi algoritmi per preparare in modo efficace una sovrapposizione approssimativamente uniforme di tutti i vertici a una determinata distanza dall'origine. Quindi puoi cercare il tuo vertice di destinazione all'interno di questa sovrapposizione usando la ricerca quantistica o classica (Monte Carlo): per la ricerca classica basta preparare la sovrapposizione e misurarla nella base del vertice e ripetere fino a trovare il bersaglio. Per la ricerca quantistica, la procedura di preparazione della sovrapposizione (e il suo inverso) diventa una subroutine che sostituisce la trasformata di Hadamard nell'iterazione di Grover.

L'utilità di questo dipende dal valore della distanza: in $n$ipercubo tridimensionale il numero di vertici a distanza $d$ da una data origine è il coefficiente binomiale $\binom{n}{d}$. Da qui la maggior parte dei vertici ($\approx \frac{2^n}{\sqrt{\frac{\pi}{2}n}}$) sono a $\approx n/2$ distanza: mentre puoi preparare in modo efficiente la sovrapposizione di questi vertici, la ricerca del bersaglio al suo interno richiede ancora tempo esponenziale.