Complessità nel riconoscere i grafici transitivi dei vertici

Non sono informato nell'area della teoria della complessità che coinvolge gruppi, quindi mi scuso se questo è un risultato ben noto.

Domanda 1. Sia un semplice grafico non orientato dell'ordine n . Qual è la complessità computazionale (in termini di $G$$n$$n$ ) nel determinare se è un vertice transitivo?$G$

Ricordiamo che un grafico è vertice-transitivo se A u t ( G ) agisce in modo transitorio su V ( $G$$\mathrm{Aut}(G)$$V(G).$

Non sono sicuro se la definizione di cui sopra consente un algoritmo di tempo polinomiale poiché può essere che l'ordine di è esponenziale.$\mathrm{Aut}(G)$

Tuttavia, i grafici transitori di vertici hanno alcune altre proprietà strutturali che potrebbero essere sfruttate per poterle determinare in modo efficiente, quindi non sono sicuro di quale sia lo stato della domanda sopra.

Un'altra sottoclasse interessante di grafici transitori di vertici che ha ancora più struttura è la classe dei grafici di Cayley . Quindi è naturale porre anche la seguente domanda correlata

Domanda 2. Qual è la complessità computazionale nel determinare se un grafico è un grafico di Cayley?$G$

Non ho una risposta completa, ma penso che entrambi i problemi siano aperti.

L'articolo di Jajcay, Malnič, Marušič [3] è legato alla tua prima domanda. Forniscono alcuni strumenti per testare la transitività dei vertici. Dicono nell'introduzione che:

Per un dato grafico finito , è decisamente difficile determinare se Γ è un vertice transitivo, e la risposta definitiva arriva di solito solo dopo una parte sostanziale dell'intero gruppo di automorfismi di $\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$ è stata determinata .

Si noti che il test di transitività dei vertici può essere eseguito testando il grafico isomorfismo volte. Crea due copie G e G ′ del tuo grafico, con ancore speciali (come percorsi di lunghezza n + 1 ) a u ∈ V ( G ) e v ∈ V ( G ′ ) . Esiste un isomorfismo tra G e G ′ se e solo se il grafico originale ha un automorfismo che associa u a v . Pertanto, è possibile verificare la tansibilità dei vertici fissando un vertice$n−1$$G$$G'$$n+1$$u \in V(G)$$v \in V(G')$$G$$G'$$u$$v$$x$e verificando che vi siano mappature di automorfismi $x$ su tutti gli altri vertici.

Si noti inoltre che se il test di transitività dei vertici può essere eseguito in un tempo polinomiale, lo è anche il test di isomorfismo per i grafici transitori di vertici. Questo perché due grafici transitori di vertici sono isomorfi se e solo se la loro unione disgiunta è transitiva di vertici. Credo che non sia nota la complessità dell'isomorfismo dei grafi per i grafici transitori di vertici.

Per la seconda domanda, ho trovato un risultato parziale. Un grafico circolante è un grafico di Cayley su un gruppo ciclico. Evdokimov e Ponomarenko [2] mostrano che il riconoscimento dei grafici circolanti può essere fatto in tempo polinomiale. Anche il capitolo del libro di Alspach [1, Capitolo 6: Grafici di Cayley, Sezione 6.2: Riconoscimento] sarebbe interessante per te, anche se dice che:

Ignoreremo il problema computazionale di riconoscere se un grafico arbitrario è un grafico di Cayley. Invece, assumiamo sempre che i grafici di Cayley siano stati descritti in termini di gruppi su cui sono costruiti, insieme ai set di connessione. Per la maggior parte dei problemi questo non è uno svantaggio.

1. Beineke, Wilson, Cameron. Argomenti della teoria dei grafi algebrici . Cambridge University Press, 2004.
2. Evdokimov, Ponomarenko. Grafici circolanti: riconoscimento e test dell'isomorfismo in tempo polinomiale. Matematica di San Pietroburgo. J. 15 (2004) 813-835. doi: 10,1090 / S1061-0022-04-00833-7
3. Jajcay, Malnič, Marušič. Sul numero di passeggiate chiuse nei grafici transitivi dei vertici. Matematica discreta. 307 (2007) 484-493. doi: 10.1016 / j.disc.2005.09.039