È possibile decidere l' equivalenza

18

So che è impossibile decidere l' equivalenza per il calcolo lambda non tipizzato. Citando Barendregt, HP The Lambda Calculus: la sua sintassi e semantica. Olanda settentrionale, Amsterdam (1984). : $\beta$

Se A e B sono insiemi disgiunti e non vuoti di termini lambda che sono chiusi sotto l'uguaglianza, allora A e B sono ricorsivamente inseparabili. Ne consegue che se A è un insieme non banale di termini lambda chiusi sotto l'uguaglianza, allora A non è ricorsivo. Quindi, non possiamo decidere il problema "M = x?" per ogni particolare M. Inoltre, ne consegue che Lambda non ha modelli ricorsivi.

Se abbiamo un sistema di normalizzazione, come il Sistema F, allora possiamo decidere l' equivalenza "dall'esterno" riducendo i due termini dati e confrontando se le loro forme normali sono uguali o meno. Tuttavia, possiamo farlo "dall'interno"? Esiste un combinatore System-F tale che per due combinatori e abbiamo se e hanno la stessa forma normale e altrimenti? O questo può essere fatto almeno per alcune ? un combinatore tale che sia vero se $\beta$ $E$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{true}$ $M$ $N$ $E M N = \mbox{false}$ $M$ $E_M$ $E_M N$ $N\equiv_\beta M$ ? Se no, perché?

— Petr Pudlák
fonte

19

No, non è possibile. Considera i seguenti due abitanti del tipo . $(A \to B) \to (A \to B)$

\begin{array}{l} M = λ f . f \\ N = λ f . λ a . f a \end{array}

$\begin{array}{l} M = \lambda f.\;f \\ N = \lambda f.\;\lambda a.\; f\;a \end{array}$

Queste sono forme normali distinte , ma non possono essere distinte da un termine lambda, poiché è un'espansione di e l' espansione conserva l'equivalenza osservazionale in un calcolo lambda tipizzato puro. $\beta$ $N$ $\eta$ $M$ $\eta$

Cody ha chiesto cosa succede se modifichiamo anche con -equivalence. La risposta è ancora negativa, a causa della parametricità. Considera i seguenti due termini nel tipo : $\eta$ $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

\begin{array}{lcl} M & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [\forall α . α \to α] (Λ β . λ y : β . y) [α] x \\ N & = & λ f : (\forall α . α \to α) . Λ α . λ x : α . f [α] x \end{array}

$\begin{array}{lcl} M & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f \;[\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha]\;(\Lambda \beta.\lambda y:\beta.\;y)\;[\alpha]\;x\\ N & = & \lambda f:(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha).\;\Lambda \alpha.\lambda x:\alpha.\;f\;[\alpha]\;x \end{array}$

Sono distinti normali, forma lunga, ma sono equivalentemente osservazionali. In effetti, tutte le funzioni di questo tipo sono equivalenti, poiché è la codifica del tipo di unità, quindi tutte le funzioni del tipo deve essere estensivamente equivalente. $\beta$ $\eta$ $\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha$ $(\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha) \to (\forall \alpha.\;\alpha \to \alpha)$

— Neel Krishnaswami
fonte

2

Ok, stessa domanda con

-equivalence :)

β, η

$\beta,\eta$

— cody

11

Un'altra possibile risposta a Neel perfettamente corretta: Supponiamo che ci sia un combinatore , ben digitato nel sistema F in modo tale che la condizione di cui sopra valga. Il tipo di è: $E$ $E$

E : \forall α . α \to α \to b o o l

$E : \forall \alpha.\alpha\rightarrow \alpha\rightarrow {\bf bool}$

Si scopre che esiste un teorema gratuito che esprime che tale termine è necessariamente costante :

\forall T, t, u, t^{'}, u^{'} : T, E T t u = E T t^{'} u^{'}

$\forall T,\ t,u,t',u':T,\ E\ T\ t\ u = E\ T\ t'\ u'$

$E$

— cody
fonte