Quali sono le conseguenze di

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Sappiamo che $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{P}$ e che $\mathsf{L} \subseteq \mathsf{NL} \subseteq \mathsf{L}^2 \subseteq$ $\mathsf{polyL}$ , dove $\mathsf{L}^2 = \mathsf{DSPACE}(\log^2 n)$ . Sappiamo anche che $\mathsf{polyL} \neq \mathsf{P}$ perché quest'ultimo ha problemi completi nello spazio logaritmico molte riduzioni mentre il primo no (a causa del teorema della gerarchia spaziale). Per comprendere il rapporto tra $\mathsf{polyL}$ e $\mathsf{P}$ , può essere utile prima capire il rapporto tra $\mathsf{L}^2$ e $\mathsf{P}$ .

Quali sono le conseguenze di $\mathsf{L}^2 \subseteq \mathsf{P}$ ?

Che dire del più forte $\mathsf{L}^{k} \subseteq \mathsf{P}$ per $k>2$ o del più debole $\mathsf{L}^{1 + \epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ per $\epsilon > 0$ ?

— argentpepper
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4

@OrMeir Di recente ho aggiunto una spiegazione di questo fatto all'articolo di Wikipedia per polyL .

— Argentpepper,

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L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$

L \neq P

$L \neq P$

L ⊊ L^{2}

$L \subsetneq L^2$

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Bella domanda! Penso che valga sicuramente una taglia. A proposito, ecco una semplice osservazione, se

L^{2} \subseteq P

$L^2 \subseteq P$ , quindi

D S P A C E (n) \subseteq D T I M E (2^{O (\sqrt{n})})

$DSPACE(n) \subseteq DTIME(2^{O(\sqrt{n})})$ . Pertanto, disponiamo di un algoritmo più efficiente per CNF-SAT e confutiamo ETH (ipotesi del tempo esponenziale).

— Michael Wehar,

3

Seguendo il commento di @ MichaelWehar, le implicazioni derivano da un argomento di riempimento standard che si estende a ipotesi più deboli: se

L^{1 + ϵ}

$L^{1 + \epsilon}$ è in

P

$P$ , allora qualsiasi problema che può essere risolto nello spazio lineare (incluso il problema della soddisfacibilità), può essere risolto in tempo

2^{O (n^{\frac{1}{1 + ϵ}})}

$2^{O\left(n^{\frac{1}{1 + \epsilon}}\right)}$ .

— argentpepper,

3

@SajinKoroth: Penso che il tuo commento, così come quello di Michael Wehar (e il seguito di argentpepper) dovrebbero essere le risposte ...

— Joshua Grochow,

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La seguente è una conseguenza ovvia: implicherebbe e quindi . $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \neq \mathsf{P}$

Secondo il teorema della gerarchia spaziale, . Se quindi . $\forall \epsilon > 0: \mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon}$ $\mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$ $\mathsf{L} \subsetneq \mathsf{L}^{1+\epsilon} \subseteq \mathsf{P}$

— Sajin Koroth
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Piccola nota: se , allora abbiamo o .

P \neq L

$P \neq L$

P \neq N L

$P \neq NL$

N L \neq L

$NL \neq L$

— Michael Wehar,

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$\newcommand{\DSPACE}{\mathsf{DSPACE}} \newcommand{\L}{\mathsf{L}} \newcommand{\P}{\mathsf{P}} \newcommand{\DTIME}{\mathsf{DTIME}}$

$\L^2 \subseteq \P$ confuterebbe l' ipotesi del tempo esponenziale .

Se allora con un argomento di riempimento . Ciò significa che il problema di soddisfacibilità può essere deciso in passaggi, confutando l'ipotesi del tempo esponenziale. $\L^2 \subseteq \P$ $\DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(\sqrt n)})$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n)$ $2^{o(n)}$

Più in generale, per implica . $\DSPACE(\log^{k} n) \subseteq \P$ $k\geq1$ $\mathsf{SAT} \in \DSPACE(n) \subseteq \DTIME(2^{O(n^{\frac{1}{k}})})$

(Questa risposta è ampliata da un commento di @MichaelWehar.)

— argentpepper
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Grazie per aver ampliato il commento! Lo apprezzo. :)

— Michael Wehar,

1

Inoltre, l'ultima ipotesi implica anche che sia in DSPACE ( ) DTIME ( ).

Q B F

$QBF$

n

$n$

\subseteq

$\subseteq$

2^{O (n^{\frac{1}{k}})}

$2^{O(n^{\frac{1}{k}})}$

— Michael Wehar,

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L'isomorfismo di gruppo (con i gruppi indicati come tabelle di moltiplicazione) sarebbe in P. Lipton, Snyder e Zalcstein che mostrava questo problema in , ma è ancora aperto se è in P. Il miglior limite superiore attuale è -time e poiché si riduce all'isomorfismo grafico, rappresenta un ostacolo significativo nel mettere iso grafico in P. $\mathsf{L}^2$ $n^{O(\log n)}$

Mi chiedo a quali altri problemi naturali e importanti questo si applicherebbe: cioè in ma con il loro tempo quasi polinomiale con limite superiore più noto. $\mathsf{L}^2$

— Joshua Grochow
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1

Più specificamente, il problema più generale dell'isomorfismo del è in , che è una sottoclasse di .

β_{2} F O L L

$\beta_2 \mathsf{FOLL}$

L^{2}

$\mathsf{L}^2$

— Argentpepper,

1

Inoltre, il problema del rango di gruppo (dato un gruppo finito G come tabella di moltiplicazione e un intero k , G ha un gruppo di generazione di cardinalità k ?) Ha anche questa proprietà. L'algoritmo è solo una ricerca sui sottoinsiemi di G della cardinalità k ma utilizza due fatti importanti: (1) ogni gruppo finito ha un gruppo di generazione di dimensioni logaritmiche e (2) l'appartenenza al sottogruppo è in , che equivale a .

S L

$\mathsf{SL}$

L

$\mathsf{L}$

— Argentpepper,

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Reclamo: Se per alcuni , allora e . $L^k \subseteq P$ $k > 2$ $P \neq \log(CFL)$ $P \neq NL$

Supponiamo che per alcuni . $L^k \subseteq P$ $k > 2$

Da " Limiti di memoria per il riconoscimento di linguaggi senza contesto e sensibili al contesto ", sappiamo che . Dal teorema della gerarchia spaziale, sappiamo che . $CFL \subseteq DSPACE(\log^2(n))$ $DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n))$

Pertanto, otteniamo . $\log(CFL) \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

Inoltre, secondo il teorema di Savitch, sappiamo che . Pertanto, otteniamo . $NL \subseteq L^2$ $NL \subseteq DSPACE(\log^2(n)) \subsetneq DSPACE(\log^k(n)) \subseteq P$

— Michael Wehar
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