Comprensione della logica del punto minimo fisso

Per capire meglio un articolo sto cercando di ottenere una breve comprensione della logica dei punti meno fissi. Ci sono alcuni punti in cui sono bloccato.

Se è un grafico e$G = (V,E)$

è un operatore sul binario rapporto . Non capisco il motivo per cui il punto di minimo fisso P * di P è la chiusura transitiva di E . L'esempio è tratto dalla teoria dei modelli finiti e dalle sue applicazioni (p. 60).$P$$P^*$$P$$E$

Quando si estende la logica del primo ordine con l'operatore puntatore meno fisso non capisco perché il simbolo rapporto deve essere positivo nella formula. Mezzi positivi che ogni occorrenza di S i nella formula è all'interno di un numero pari di simboli negazione.$S_i$$S_i$

Qualcuno ha idea di cosa è buono da leggere per una comprensione intuitiva della logica del puntatore meno fissa e della sua sintassi e semantica?

Se si riscontrano problemi con il concetto di punto minimo fisso, consiglierei di dedicare un po 'di tempo a farsi un'idea della teoria dell'ordine generale.

Davey e Priestley, Introduzione a Lattices and Order è una buona introduzione.

Per capire perché la chiusura transitiva è il punto meno fisso, immagina di costruire la chiusura da un set vuoto, applicando la formula logica un passo alla volta. Il punto meno fisso arriva quando non è possibile aggiungere nuovi bordi usando la formula.

Il requisito che la formula sia positiva garantisce che il processo sia monotonico, cioè che cresca ad ogni passo. Se avessi un subformula negativo, potresti avere il caso in cui su alcuni gradini la serie di spigoli diminuirebbe, e questo potrebbe portare a un'oscillazione non terminante su e giù, piuttosto che una convergenza all'LFP.

$S$$P$

$P$

1. $\mu P$$P(\mu P) = \mu P$$\mu X.\;P(X)$

2. $L$$f : L \to L$$f$$f$$f$

3. $X$

Trovo che non c'è sostituto per fare queste prove per te per interiorizzare davvero l'intuizione.

questo è un post molto vecchio, quindi potresti aver già trovato la risposta desiderata. Da quando studio FO (LFP) da alcuni mesi. Ho una certa comprensione delle risposte richieste.

$[\sigma$$\phi(\vec{x},X)$$|\vec{x}|=ar(X)$$f_\phi$$\mathcal{P}(A^{ar(X)}) \mapsto \mathcal{P}(A^{ar(x)})$$\sigma$$\mathbb{A}$$\mathcal{P}(Z)$$f_\phi(Z) = \{\ \vec{a} \in A^{ar(X)}\ |\ \mathbb{A},\vec{a},Z \models \phi\ \}$. Se questo operatore è monotono, possiamo facilmente catturare il punto fisso in una struttura sia finita che infinita seguendo il teorema del punto fisso del ciarlatano tarski menzionato nelle risposte sopra. Ma il problema è verificare se la formula scritta dal modulo come sopra codifica un operatore monotono o no sia indecidibile, quindi dobbiamo ottenere la cosa migliore successiva. La positività nella variabile libera del secondo ordine garantisce il rispetto del requisito di monotonicità, è un'induzione strutturale standard per dimostrare questo fenomeno. La domanda è: è abbastanza?

A questo, non ho ancora una risposta solida, dato che sto ancora leggendo. Posso indicare documenti su questo fronte. Almeno quello che spiega le idee che ho menzionato qui, sono dall'articolo, Monotone vs Positive - Ajtai, Gurevich. Inoltre menziona un altro documento Estensioni a virgola fissa della logica del primo ordine di Gurevich e Shelah che afferma che l'operatore a virgola fissa quando applicato alla formula positiva non perde potenza espressiva rispetto all'applicazione che viene eseguita su formule monotone arbitrarie.