Una colorazione planare impropria con una dimensione monocromatica

Rilassiamo un po 'la colorazione, ovvero permettiamo a un piccolo numero di vertici adiacenti di assegnare lo stesso colore. Un componente monocromatico è definito come un componente collegato nel sottografo indotto dall'insieme di vertici che ricevono lo stesso colore e la domanda è quella di chiedere il numero minimo di colori necessario per colorare un grafico in modo tale che il componente monocromatico più grande abbia dimensione non più di C . $\lambda$$C$
La colorazione tradizionale può essere considerata come -colore in questa impostazione. Quindi per trovare il numero minimo di λ è NP-difficile per il grafico planare in generale. $[\lambda,1]$$\lambda$

La mia domanda è: che ne dici di -colore di grafici planari$[\lambda,2]$ , o più in generale, -colore per C ≥ 2 ?$[\lambda,C]$$C \geq 2$

Questo può essere visto come un duplice problema di ciò che viene studiato da Edwards e Farr , dove è fisso, e si è chiesto di trovare la dimensione minima di C .$\lambda$$C$

L'abbinamento perfetto a 2 colori nei grafici planari cubici è molto simile al tuo problema che è stato dichiarato NP-completo da Schaefer nel suo famoso documento sul teorema della dicotomia, sebbene non abbia fornito la prova per i grafici planari cubici. Il problema richiede l'esistenza di due colorazioni di grafici cubi planari in modo tale che ogni vertice abbia esattamente un vicino dello stesso colore di se stesso.

EDIT: la colorazione difettosa è la versione decisiva del tuo problema. Un grafico è (k, d) -colorabile se si possono colorare i vertici con k colori in modo tale che nessun vertice sia adiacente a più di d vertici del suo stesso colore. Il problema decisionale (2,1) -colorare con difetti, che equivale al tuo problema di ottimizzazione, si è dimostrato NP completo anche per i grafici planari .