Sull'ottimalità dell'algoritmo Grover con elevata probabilità di successo

È noto che la complessità della query quantistica dell'errore limitato della funzione è . Ora la domanda è: se vogliamo che il nostro algoritmo quantico abbia successo per ogni input con probabilità anziché i soliti . Ora in termini di quali sarebbero i limiti superiore e inferiore appropriati? $OR(x_1,x_2,\ldots, x_n)$ $\Theta(\sqrt{n})$ $1-\epsilon$ $2/3$ $\epsilon$

È immediato che le query sufficienti per questa attività ripetendo l'algoritmo Grover. Ma da ciò che ricordo questo non è affatto ottimale poiché anche un semplice algoritmo Grover se eseguito con cura, ovvero per un numero appropriato di iterazioni, può ottenere qualcosa come con solo iterazioni. E quindi usando quello si può ottenere un miglioramento per tutti . D'altro canto, non mi aspetto che sia la risposta giusta per i molto piccoli . $O(\sqrt{n} \log(1/\epsilon))$ $\epsilon=O(1/n)$ $O(\sqrt{n})$ $\epsilon$ $\Omega(\sqrt{n})$ $\epsilon$

Ma sono interessato a vedere cosa si può mostrare in termini di limiti superiori e inferiori dipendenti da per diverse gamme di specialmente quando è molto piccolo, diciamo o per grandi . $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon$ $\epsilon= \exp(-\Omega(n))$ $\epsilon=1/n^k$ $k$

(Per dare un po 'di contesto, il fenomeno generale che sto ottenendo è l'amplificazione nel contesto della complessità della query quantistica.)

— Mohammad Bavarese
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Questo documento dovrebbe fornire le risposte alle tue domande: arxiv.org/abs/cs/9904019v2

— John Watrous,

Hmmm Sono un po 'confuso ora per il caso di . Sembra che questo documento arxiv.org/pdf/quant-ph/9605034v1.pdf affermi che con circa si possono ottenere risultati ad alta probabilità, ovvero . (pagina 2 in fondo alla prima colonna) D'altra parte il documento che hai citato dice, nella pagina 4 alla fine della sezione 3, che la probabilità di errore è impossibile per le query .

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

\frac{π}{4} \sqrt{N}

$\frac{\pi}{4}\sqrt{N}$

ϵ = \frac{1}{N}

$\epsilon=\frac{1}{N}$

o (1)

$o(1)$

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

— Mohammad Bavarian,

@MohammadBavarian: penso che sia solo nel caso in cui sia noto il numero di soluzioni (o esiste una soluzione unica).

— Robin Kothari,

Per completezza, ecco una risposta.

Consenti a indicare la complessità della query quantistica -error del calcolo di una funzione e è la funzione OR su bit, definita come . (Nota che questo è diverso dal problema in cui ti viene promesso che l'ingresso ha esattamente un 1 e l'obiettivo è quello di scoprire che 1. Questo problema può essere risolto senza errori in $Q_\epsilon(f)$ $\epsilon$ $f$ $\mathsf{OR}_n$ $n$ $\mathsf{OR}_n(x_1,\ldots,x_n)=\bigvee_{i=1}^n x_i$ query.) $\Theta(\sqrt{n})$

Poi abbiamo per tutti , $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

. $Q_\epsilon(\mathsf{OR}_n) = \Theta(\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Ciò segue dai limiti per gli algoritmi quantistici a piccolo errore e zero errore .

In effetti, sappiamo qualcosa di più generale. Per tutte le funzioni simmetriche , che sono funzioni che dipendono solo sul peso Hamming dell'ingresso, abbiamo che per ogni , $f$ $\epsilon \in [2^{-n},1/3]$

. $Q_\epsilon(f) = \Theta(Q_{1/3}(f)+\sqrt{n\log(1/\epsilon)})$

Ciò è stato mostrato in una nota sugli algoritmi quantistici e sul grado minimo di polinomi di errore epsilon per funzioni simmetriche .

— Robin Kothari
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