Perché i limiti inferiori per i circuiti booleani non implicano i limiti inferiori dei circuiti aritmetici

La mia domanda è: perché limiti inferiori per circuiti booleani con profondità 3 con porte "e" e "xor" per determinante non implicano gli stessi limiti inferiori per circuiti aritmetici su ?$\mathbb{Z}$

Cosa c'è di sbagliato nel seguente argomento: Sia un determinante per il calcolo del circuito aritmetico, quindi prendendo tutte le variabili mod 2 otterremo un determinante per il calcolo del circuito booleano. $C$

Per i circuiti aritmetici su tuo argomento è esattamente giusto. Lo stesso argomento funziona per i circuiti aritmetici su Q che non usano alcuna frazione a / b dove b è pari.$\mathbb{Z}$$\mathbb{Q}$$a/b$$b$

Tuttavia, l'argomento non funziona più se si parla di circuiti aritmetici su altri anelli, come ad esempio: circuiti aritmetici generali su (cioè senza la limitazione di cui sopra), R , campi numerici algebrici, C o campi finiti F q con q ≠ 2 .$\mathbb{Q}$$\mathbb{R}$$\mathbb{C}$$\mathbb{F}_{q}$$q \neq 2$

(Questo è essenzialmente lo stesso motivo per cui nella geometria algebrica viene spesso considerata la cosiddetta "caratteristica mista", anziché lo zero caratteristico.)$\mathbb{Z}$

Tuttavia, la profondità 3 booleano abbassare i limiti per i circuiti con {AND, OR, NOT} sono meno facilmente connessi ad abbassare i limiti per i circuiti aritmetici oltre . (Sì, {AND, XOR} è una base completa, ma in genere i circuiti di profondità 3 su {AND, OR, NOT} consideri NOT cancelli liberi, mentre implementando NOT con XOR stai quindi usando un gate XOR, che in realtà conti Allo stesso modo, sebbene a ∨ b = ¬ ( ¬ a ∧ ¬ b ) , quando si implementa questa singola porta OR con AND e XOR, si ottiene un piccolo gadget di profondità 3.)$\mathbb{Z}$$a \vee b = \neg (\neg a \wedge \neg b)$

L'affermazione generale è: sia un polinomio con coefficienti in un anello R , e supponiamo che φ : R → S sia un omomorfismo ad anello. Applicando φ ad ogni coefficiente di f si ottiene un polinomio a coefficienti in S , che io denotano f S . Poi un limite inferiore per il calcolo f S da S circuiti -arithmetic implica lo stesso limite inferiore per il calcolo f da R circuiti -arithmetic.$f$$R$$\varphi\colon R \to S$$\varphi$$f$$S$$f_S$$f_S$$S$$f$$R$