Perché i limiti inferiori per i circuiti booleani non implicano i limiti inferiori dei circuiti aritmetici


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La mia domanda è: perché limiti inferiori per circuiti booleani con profondità 3 con porte "e" e "xor" per determinante non implicano gli stessi limiti inferiori per circuiti aritmetici su ?Z

Cosa c'è di sbagliato nel seguente argomento: Sia un determinante per il calcolo del circuito aritmetico, quindi prendendo tutte le variabili mod 2 otterremo un determinante per il calcolo del circuito booleano. C

Risposte:


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Per i circuiti aritmetici su tuo argomento è esattamente giusto. Lo stesso argomento funziona per i circuiti aritmetici su Q che non usano alcuna frazione a / b dove b è pari.ZQa/bb

Tuttavia, l'argomento non funziona più se si parla di circuiti aritmetici su altri anelli, come ad esempio: circuiti aritmetici generali su (cioè senza la limitazione di cui sopra), R , campi numerici algebrici, C o campi finiti F q con q 2 .QRCFqq2

(Questo è essenzialmente lo stesso motivo per cui nella geometria algebrica viene spesso considerata la cosiddetta "caratteristica mista", anziché lo zero caratteristico.)Z

Tuttavia, la profondità 3 booleano abbassare i limiti per i circuiti con {AND, OR, NOT} sono meno facilmente connessi ad abbassare i limiti per i circuiti aritmetici oltre . (Sì, {AND, XOR} è una base completa, ma in genere i circuiti di profondità 3 su {AND, OR, NOT} consideri NOT cancelli liberi, mentre implementando NOT con XOR stai quindi usando un gate XOR, che in realtà conti Allo stesso modo, sebbene a b = ¬ ( ¬ a ¬ b ) , quando si implementa questa singola porta OR con AND e XOR, si ottiene un piccolo gadget di profondità 3.)Zab=¬(¬a¬b)

L'affermazione generale è: sia un polinomio con coefficienti in un anello R , e supponiamo che φ : R S sia un omomorfismo ad anello. Applicando φ ad ogni coefficiente di f si ottiene un polinomio a coefficienti in S , che io denotano f S . Poi un limite inferiore per il calcolo f S da S circuiti -arithmetic implica lo stesso limite inferiore per il calcolo f da R circuiti -arithmetic.fRφ:RSφfSfSfSSfR


qual è il significato di pari? b
Suresh Venkat,

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In modo che quando prendi le cose mod 2 ha una mod inversa 2, cioè a / b Q diventa a b - 1ba/bQ e quest'ultimo è ben definito. ab1(mod2)
Joshua Grochow,

Significa che dimostrare un qualche tipo di teorema come von-division (cioè che non hai bisogno di dividere per due) implicherà limiti inferiori del circuito su C?
Klim,

@Klim: No. Il problema è che un circuito su C può ancora usare costanti irrazionali (o anche non reali), che non puoi ancora prendere "mod 2".
Joshua Grochow,
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