La relazione dei teoremi di incompletezza di Gödel con la tesi Church-Turing

Questa potrebbe essere una domanda ingenua, ma qui va. (Modifica - non sta ottenendo voti, ma nessuno ha offerto una risposta; forse la domanda è più difficile, oscura o poco chiara di quanto pensassi?)

Il primo teorema di incompletezza di Gödel può essere dimostrato come un corollario dell'indecidibilità del problema di arresto (es. Sipser Ch. 6; post sul blog di Scott Aaronson ).

Da quello che ho capito (confermato dai commenti), questa prova non dipende dalla tesi di Church-Turing. Deriviamo una contraddizione dimostrando che, in un sistema formale completo e coerente, una macchina di Turing potrebbe risolvere il problema di arresto. (Se d'altra parte avessimo appena dimostrato che una qualche procedura efficace potrebbe decidere di fermare il problema, dovremmo anche assumere la tesi di Church-Turing per ottenere una contraddizione.)

Quindi, potremmo dire che questo risultato fornisce un po 'di supporto intuitivo alla tesi di Church-Turing, perché mostra che una limitazione di Turing Machines implica una limitazione universale. (Il post sul blog di Aaronson certamente supporta questa visione.)

La mia domanda è se possiamo ottenere qualcosa di più concreto andando al contrario: quali implicazioni formali hanno i teoremi di Gödel per la tesi di Church-Turing? Ad esempio, sembra intuitivamente possibile che il teorema della Prima incompletezza implichi che nessuna procedura efficace può determinare se una Macchina di Turing arbitraria si ferma; il ragionamento potrebbe affermare che l'esistenza di una tale procedura implica la capacità di costruire una teoria completa coerente. È corretto? Ci sono risultati in questo senso?$\omega$

(Sto chiedendo per curiosità - non studio la logica da solo - quindi mi scuso se questo è noto o non di livello di ricerca. In tal caso, considera questa una richiesta di riferimento! Grazie per eventuali commenti o risposte !)

Domanda che sembra correlata, ma non lo è: il teorema di Church e il teorema di incompletezza di Gödel

EDIT: proverò a rendere la domanda più chiara! Primo: la mia ingenua intuizione è che l'incompletezza di Gödel dovrebbe implicare almeno alcune limitazioni su ciò che è o non è calcolabile. Queste limitazioni sarebbero incondizionate, cioè dovrebbero applicarsi a tutti i modelli di calcolo piuttosto che alle sole macchine di Turing.

Quindi mi chiedo se sia così (ci devono essere delle implicazioni, giusto?). Supponendo che lo sia, sono molto curioso di sapere come influisce sulla tesi di Church-Turing - l'idea che qualsiasi cosa effettivamente calcolabile possa essere calcolata da una macchina di Turing. Ad esempio, sembra possibile che l'esistenza di una procedura efficace per decidere se una macchina di Turing si arresti contraddirebbe il primo teorema di incompletezza. Questo risultato dimostrerebbe che nessun possibile metodo di calcolo può essere "molto" più potente delle macchine di Turing; ma questo risultato è vero? Ho un paio di domande simili nei commenti. Sarei molto interessato a sentire una risposta a una di queste domande, un puntatore a una risposta in letteratura, una spiegazione del perché tutto il mio ragionamento è off-base o qualsiasi altro commento!

Ecco una risposta filosofica che potrebbe intrattenerti.

I teoremi di incompletezza di Gödel riguardano il sistema formale dell'aritmetica di Peano. In quanto tali, non dicono nulla sui modelli di calcolo, almeno non senza una certa quantità di interpretazione.

L'aritmetica di Peano mostra facilmente l'esistenza di funzioni non calcolabili. Ad esempio, essendo una teoria classica abbastanza espressiva per parlare delle macchine di Turing, mostra l'istanza particolare del mezzo escluso che dice che ogni macchina di Turing si ferma o funziona per sempre. Tuttavia, dal lavoro di Gödel sorse un'importante nozione di calcolabilità, vale a dire quella di una funzione ricorsiva (primitiva) . Quindi non sono i teoremi stessi a connettersi alla calcolabilità, ma piuttosto il metodo di dimostrazione che li stabilisce.

L'essenza dei teoremi di incompletezza può essere espressa in una forma astratta usando la logica della provabilità, che è una specie di logica modale. Ciò conferisce ai teoremi di incompletezza una vasta gamma di applicabilità ben oltre l'aritmetica e la calcolabilità di Peano. Non appena vengono soddisfatti alcuni principi a virgola fissa, entra in gioco l'incompletezza. Questi principi a virgola fissa vengono soddisfatti dalla teoria della calcolabilità tradizionale, che quindi cade vittima dell'incompletezza, con la quale intendo l'esistenza di insiemi inseparabili. Poiché le frasi dimostrabili e confutabili dell'aritmetica di Peano formano insiemi inseparabili, i teoremi di incompletezza di Gödel tradizionale possono essere visti come un corollario di fenomeni di incompletezza nella calcolabilità. (Sono filosoficamente vago e la tua testa ti farà male se provi a capirmi come un matematico.)

Suppongo che possiamo prendere due posizioni su come tutto ciò si collega alla nozione informale di efficacia ("cose ​​che possono essere effettivamente calcolate"):

1. Per quanto ne sappiamo, siamo solo un automa finito piuttosto grande, in grado di contemplare i supereroi immaginari chiamati "macchine di Turing" che sono in grado di calcolare con numeri illimitati (sussulto!). In questo caso, Gödel era solo un ottimo narratore. Il modo in cui le sue storie si traducono in efficacia è quindi una questione di applicazione (necessariamente imprecisa) dell'immaginazione alla realtà.

2. Poiché i fenomeni di incompletezza sorgono naturalmente in molti contesti, e certamente in tutte le nozioni ragionevoli di calcolabilità, concludiamo che lo stesso deve valere per l'efficacia. Ad esempio, supponiamo di poter inviare le macchine di Turing in buchi neri per calcolare le macchine di Turing a tempo infinito di Joel Hamkin . Questo ci dà un immenso potere computazionale in cui l'oracolo di arresto è un giocattolo dell'asilo. Tuttavia, il modello soddisfa le condizioni di base che ci consentono di mostrare l'esistenza di insiemi inseribili. E quindi, ancora una volta, il calcolo non è onnipotente e l'incompletezza è un fatto della vita.

Vorrei sottolineare il commento di Neel , i principali strumenti sia per l'indecidibilità dell'arresto che per i teoremi di incompletezza di Godel sono:

1. codificare concetti sintattici come prove, calcolo, ecc. con numeri / stringhe e relazioni / funzioni su di essi;
2. Teorema del punto fisso di Godel.

La codifica di oggetti e concetti sintattici potrebbe sembrare ovvio oggi che siamo abituati ai computer digitali, ma è un'idea geniale essenziale per computer e software universali. Tutto ciò che è necessario per dimostrare l'esistenza di un simulatore universale è nel suo documento.

Godel mostra anche che possiamo rappresentare questi concetti sintattici e le relazioni / funzioni generalmente calcolabili TM mediante semplici formule aritmetiche.

La prova di incompletezza di Godel in breve è la seguente:

$T$

1. $Provable_T(x)$$T$$x$$T$
2. $G$$\lnot Provable(x)$$T \vdash G \leftrightarrow \lnot Provable_T(\ulcorner G \urcorner)$

L'indecidibilità del problema di arresto per le TM usa ingredienti simili:

1. c'è un TM che riconosce se la TM codificata da ferma,$Halt(x)$$x$
2. Il punto fisso di Kleene per trovare una TM st accetta iff accetta.N ¬ H a L t ( ⟨ M ⟩ $N$$N$$\lnot Halt(\langle M \rangle)$

L'indecidibilità dell'arresto per le TM dà incompletezza perché possiamo rappresentare in e possiamo enumerare in modo computabile i teoremi di , e se è completa possiamo decidere se una determinata TM si ferma o meno controllando se la formula corrispondente è dimostrabile in .T T T $Halt(x)$$T$$T$$T$$T$

Anche il contrario è semplice: se una teoria è ce, allora la provabilità in è decidibile usando il problema dell'arresto , quindi potremmo costruire una teoria completa semplicemente aggiungendo sempre più formule le cui negazioni non sono provabili. Pertanto, se il problema della terminazione è decidibile, allora potremmo avere un'estensione ce completa di .T $T$$T$$T$

Le prove sono molto simili e usano gli stessi ingredienti (anche se per qualcuno che ha più familiarità con le TM ma non molto con la logica, l'indecidibilità del problema di arresto potrebbe sembrare più semplice: la particolare istanza del teorema a virgola fissa usata nella prova di indecidibilità potrebbe sembrare più semplice di l'istanza particolare del punto fisso usato nel teorema di Godel sebbene siano essenzialmente gli stessi, ma le idee essenziali sono solo codificare oggetti sintattici e concetti usando numeri / stringhe e formule / funzioni su di essi e applicare un teorema a punto fisso).

Penso che puoi usare modelli di calcolo più forti per i teoremi, puoi prendere la calcolabilità rispetto all'oracolo , considerare il problema di arresto per le TM con accesso all'oracolo e considerare l'aritmetica che ha un predicato e gli assiomi che definiscono il grafico di . Avremo una situazione simile per la computabilità rispetto a .O P O ( x ) O $O$$O$$P_O(x)$$O$$O$

ps:
Nota che i teoremi di Godel vengono pubblicati nel 1931, mentre l'indecidibilità di Turing viene pubblicata nel 1936. Al momento della pubblicazione dell'articolo di Godel, le TM non erano definite e Godel utilizzava un altro modello equivalente. IIRC, Godel non era completamente soddisfatto del suo risultato come il raggiungimento dell'obiettivo originale del programma di Hilbert perché non era convinto che il modello di calcolo che usava catturasse davvero la nozione intuitiva di calcolabilità algoritmica, era soddisfatto solo dopo l'argomento filosofico di Turing sulla cattura di TM la nozione intuitiva di calcolabilità algoritmica. Penso che puoi leggere di più su questo nelle opere raccolte da Godel.