Algoritmi esatti per la programmazione quadratica non convessa

Questa domanda riguarda problemi di programmazione quadratica con vincoli di riquadro (box-QP), ovvero problemi di ottimizzazione del modulo

minimizza $f(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} + \mathbf{c}^T \mathbf{x}$ soggetto a $\mathbf{x} \in [0,1]^n$ .

Se fosse semi-definito positivo, allora tutto sarebbe bello, convesso e facile, e potremmo risolvere il problema in tempo polinomiale. $A$

D'altra parte, se avessimo il vincolo di integralità , potremmo facilmente risolvere il problema nel tempo per forza bruta. Ai fini di questa domanda, questo è ragionevolmente veloce. $\mathbf{x} \in \{0,1\}^n$ $O(2^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

Ma che dire del caso continuo non convesso? Qual è l'algoritmo più veloce conosciuto per i QP box generali?

Ad esempio, possiamo risolverli in un tempo moderatamente esponenziale, ad esempio o la complessità peggiore degli algoritmi più noti è qualcosa di molto peggio? $O(3^n \cdot \mathrm{poly}(n))$

Contesto: ho alcuni QP box abbastanza piccoli che vorrei davvero risolvere, e sono rimasto un po 'sorpreso di vedere come scarseggiano alcuni pacchetti software commerciali, anche per valori molto piccoli di . Ho iniziato a chiedermi se esiste una spiegazione TCS per questa osservazione. $n$

ds.algorithms optimization exp-time-algorithms

— Jukka Suomela
fonte

Riesci a risolvere esattamente anche per PSD ? La soluzione può essere irrazionale, no? Se sei disposto a perdere l'additivo forse puoi ottenere un algoritmo di tempo esponenziale facendo una ricerca della forza bruta su una griglia sufficientemente fine. Solo un vago suggerimento.

A

$A$

ϵ

$\epsilon$

— Chandra Chekuri,

Il rovescio della medaglia è che la "base" dell'esponente sarebbe qualcosa come , ma forse l'ingegnerizzazione della griglia intelligente può aiutare per "piccolo"

1 / ϵ

$1/\epsilon$

n

$n$

— Suresh Venkat il

@ChandraChekuri: le approssimazioni sono perfettamente valide se si può ottenere, ad esempio,

. Tuttavia, non è possibile forzare brutalmente su una griglia così fine.

ϵ = 10^{- 9}

$\epsilon = 10^{-9}$

— Jukka Suomela,

Eliminando i quantificatori su campi chiusi reali, è sempre possibile risolvere esattamente questi sistemi.

è consentito, è possibile ottimizzare la funzione su ciascuna delle facce del cubo semplicemente scrivendo i criteri di ottimalità del primo ordine.

O (3^{n})

$O(3^n)$

— Yoshio Okamoto,

Una soluzione ottimale sta in qualche modo. Quindi, possiamo attraversare tutte le facce del cubo e trovare tutti i punti fissi su ciascuna delle facce.

Ecco una procedura più concreta. Una faccia del cubo può essere caratterizzata da due insiemi di indici disgiunti e $I_0$ $I_1$ $i \in I_0$ $x_i = 0$ $i \in I_1$ $x_i = 1$ $\tilde{x}$ $x$

{\tilde{x}}^{⊤} \tilde{A} \tilde{x} + {\tilde{c}}^{⊤} \tilde{x} + d,

$\tilde{x}^{\top} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c}^{\top} \tilde{x} + d,$

$\tilde{A}$ $\tilde{c}$ $d$ $0 < \tilde{x} < 1$

A tal fine, prendiamo la differenziazione della funzione obiettivo da ottenere

\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.

$\frac{1}{2} \tilde{A} \tilde{x} + \tilde{c} = 0.$

Risolvere questo sistema di equazioni lineari ti dà i punti fermi, i candidati per soluzioni ottimali. Li esaminiamo tutti, controlliamo la condizione e scegliamo uno con il valore obiettivo minimo.

$O(3^n \text{poly}(n))$ $n$ $3^n$ $n$

— Yoshio Okamoto
fonte

f

$f$

@cody: Questo perché ogni politopo è l'unione disgiunta delle sue facce.

— Yoshio Okamoto,

f

$f$

@cody: la proprietà è ancora valida, ma dobbiamo risolvere un'equazione algebrica di grado più di una. Temo che questo non sia banale per i casi multivariati.

— Yoshio Okamoto,