Risultati di complessità per le funzioni ricorsive elementari inferiori?

Incuriosito dall'interessante domanda di Chris Pressey sulle funzioni elementari ricorsive , stavo esplorando di più e non riuscivo a trovare una risposta a questa domanda sul web.

Le funzioni ricorsive elementari corrispondono bene alla gerarchia esponenziale, . $\text{DTIME}(2^n) \cup \text{DTIME}(2^{2^n}) \cup \cdots$

Sembra chiaro dalla definizione che i problemi di decisione decidibili (termine?) Dalle funzioni elementari inferiori dovrebbero essere contenuti in EXP, e in effetti in DTIME ; queste funzioni sono anche vincolate all'output di stringhe lineari nella loro lunghezza di input [1]. $(2^{O(n)})$

D'altra parte, non vedo alcun limite inferiore evidente; a prima vista sembra concepibile che LOWER-ELEMENTARY possa contenere rigorosamente NP, o forse non riuscire a contenere alcuni problemi in P, o molto probabilmente qualche possibilità che non ho ancora immaginato. Sarebbe straordinariamente bello se BASSO-ELEMENTARE = NP ma suppongo che sia troppo da chiedere.

Quindi le mie domande:

La mia comprensione è finora corretta?
Cosa si sa delle classi di complessità che limitano le funzioni ricorsive elementari inferiori?
(Bonus) Abbiamo delle caratterizzazioni piacevoli di classe di complessità quando facciamo ulteriori restrizioni sulle funzioni ricorsive? Stavo pensando in particolare alla restrizione alle sommazioni limitate di , che penso corrono in un tempo polinomiale e producano un output lineare; o sommazioni con limiti costanti, che penso corrano in un tempo polinomiale e producano un output di lunghezza al massimo . $\log(x)$ $n + O(1)$

[1]: Possiamo dimostrare (credo) che le funzioni di livello inferiore sono soggette a queste restrizioni per induzione strutturale, supponendo che le funzioni abbiano complessità e output di lunghezza bit su un input di lunghezza . Quando , lasciando , ogni ha un output di lunghezza , quindi ha un - input di lunghezza (e quindi output di lunghezza ); la complessità del calcolo di tutti i s è e di è $h,g_1,\dots,g_m$ $2^{O(n)}$ $O(n)$ $n$ $f(x) = h(g_1(x),\dots,g_m(x))$ $n := \log x$ $g$ $O(n)$ $h$ $O(n)$ $O(n)$ $g$ $m2^{O(n)}$ $h$ $2^{O(n)}$ , quindi ha complessità e output della lunghezza come rivendicato. $f$ $2^{O(n)}$ $O(n)$

Quando , le hanno output di lunghezza , quindi il valore della somma degli output è , quindi la loro somma ha lunghezza . La complessità della somma di questi valori è limitata da (il numero di sommazioni) volte (la complessità di ogni aggiunta) che dà e la complessità del calcolo degli output è limitata da (il numero di calcoli) volte (la complessità di ciascuno), dando . Quindi ha complessità $f(x) = \sum_{i=1}^x g(x)$ $g$ $O(n)$ $2^n 2^{O(n)} \in 2^{O(n)}$ $O(n)$ $2^n$ $O(n)$ $2^{O(n)}$ $2^{n}$ $2^{O(n)}$ $2^{O(n)}$ $f$ $2^{O(n)}$ e output della lunghezza come rivendicato. $O(n)$

— usul
fonte

L'articolo di Wikipedia a cui si collega afferma che le funzioni elementari inferiori hanno una crescita polinomiale (ma non fornisce alcun riferimento). Mostrare che un problema P-completo può o non può essere risolto con funzioni elementari sarebbe un buon passo per fissarlo ulteriormente. A prima vista, non sembra impossibile simulare una macchina di Turing per n passi - forse una somma limitata corrispondente al numero di passi di un'altra somma limitata corrispondente ad ogni transizione di stato?

— Chris Pressey,

@Chris - La mia ipotesi era che "crescita polinomiale" si riferisce al numero di bit nell'uscita che non è più che lineare nel numero di bit nell'ingresso. Sono d'accordo che la simulazione sembra molto plausibile e sembra fattibile in tempo polinomiale (ma potrebbe richiedere alcuni dettagli per verificarlo!).

— usul

Spiacenti, quella prima parte potrebbe non essere chiara, ma è perché in seguito all'input del valore l'output ha valore al massimo polinomiale in .

x

$x$

x

$x$

— usul

Per quanto riguarda la domanda 3: le funzioni definibili nella variante con la somma delimitata da sono tutte nella divisa della classe di complessità . Con una somma limitata e costante ottieni una sottoclasse di uniform .

\log (x)

$\log(x)$

{T C}^{0}

$\mathsf{TC}^0$

{A C}^{0}

$\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen,

@Xoff Credo che sia tutto sommato: stiamo sommando da a , dove (su un input di bit) può avere dimensioni , quindi la nostra somma sarà volte la dimensione di ogni summand .

1

$1$

x

$x$

n

$n$

x

$x$

2^{n}

$2^n$

2^{n}

$2^n$

— usul

Per quanto riguarda la domanda (bonus) 3: le funzioni definibili nella variante con somma sommata con sono tutte nella divisa della classe di complessità . Ciò deriva dalla costruzione a Chandra, Stockmeyer e Vishkin "Riducibilità della profondità costante", SIAM J. Comput. 13 (1984) che mostra che la somma di numeri di bit ciascuno può essere calcolata da circuiti a profondità costante di dimensione poinomiale con porte di maggioranza. $\log(x)$ $\mathsf{TC}^0$ $n$ $n$

Con una somma limitata e costante ottieni una sottoclasse di uniform . La somma dei limiti costanti può essere ridotta all'aggiunta e alla composizione e l'addizione può essere calcolata da circuiti booleani a profondità costante usando il metodo carry-lookahead. $\mathsf{AC}^0$

— Jan Johannsen
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"Le funzioni elementari inferiori sono in SCAD " è corretta. Sono in effetti in DPSPACE ( n ); come si può vedere dall'induzione strutturale.
Qui è mostrato [1] che la soddisfacibilità booleana SAT si trova nel livello più basso E ₀ della Gerarchia di Grzegorczyk, cioè con ricorsione limitata invece di somma sommata.

[1] Cristian Grozea: predicati NP calcolabili nel livello più debole della Gerarchia di Grzegorczyck (sic!). Journal of Automata, Languages and Combinatorics 9 (2/3) : 269-279 (2004).

L'idea di base è codificare la formula data della lunghezza binaria n in un numero intero N di valore approssimativamente esponenziale in n ; e quindi esprimere l'esistenza di un incarico soddisfacente in termini di quantificazione delimitata da detta N (piuttosto che n ).

Questo metodo sembra portare sulla E ₀ a Bassa elementare
(e generalizzare da SAT a QBF _k per arbitrario ma fissato k ).

Tuttavia, non implica che E ₀ contenga NP (o anche P per quella materia), poiché è noto che i calcoli polifunzionali lasciano E ₂ .

— Martin Ziegler
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