automorfismo nei gadget di Cai-Furer-Immerman


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Nel famoso contro esempio di isomorfismo grafico tramite il metodo Weisfeiler-Lehman (WL) il seguente gadget è stato costruito in questo documento da Cai, Furer e Immerman. Costruiscono un grafico dato daXk=(Vk,Ek)

Vk=AkBkMk where Ak={ai1ik},Bk={bi1ik}, and Mk={mSS{1,2,,k}, |S| is even}Ek={(mS,ai)iS}{(mS,bi)iS}

Uno dei lemmi nel documento (lemma 3.1 pagina 6) afferma che se i vertici e con il colore allora (il colore deve essere preservato dall'automorfismo) dove ogni automorfismo corrisponde all'interscambio di e per ciascuno in alcuni sottoinsiemi di di cardinalità uniforme . Dicono che la prova è immediata. Ma non riesco a vedere come anche nel caso di . In è un vantaggio ma se abbiamo un automorfismo che scambia eaibii|Aut(Xk)|=2k1aibiiS{1,2,,k}X 2 ( a 1 , m { 1 , 2 } ) a 1 , b 1 a 2 , b 2 ( b 1 , m { 1 , 2 } )k=2X2 (a1,m{1,2})a1,b1a2,b2il bordo sopra viene trasformato in che non è un bordo. Quindi questo non dovrebbe essere un automorfismo.(b1,m{1,2})

Vorrei capire qual è il mio malinteso.

Risposte:


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Ti manca il emptyset che è collegato a tutte le . Per ottenere un automorfismo, selezionare un sottoinsieme di cardinalità uniforme e quindi scambiare con per ogni e quindi regolare i set nel mezzo. Nel tuo esempio il grafico èbT{1,...,k}aibiiT

(a1,{12}),(a2,{12}),(b1,),(b2,).

Sempre nel tuo esempio se non hai bisogno di fare nulla e se l'automorfismo viene dato scambiando con , con e con .T=T={1,2}a1b1a2b2{1,2}

Ora, per il caso generale, dobbiamo mostrare che esiste sempre un modo per regolare i vertici medi. Sappiamo che ha persino cardinalità. Quindi lasciamo . Dobbiamo solo dimostrare che tale automorfismo esiste se poiché altrimenti può applicare la composizione di automorfismi corrispondenti al partizionamento in sottoinsiemi di dimensione . Quindi supponiamo che . Quindi l'automorfismo scambia con , con , ogni vertice medio tale cheT|T|=2r|T|=2rTr2T={i,j}aibiajbjSS{i,j}=con il vertice centrale (questo può essere visto nel tuo esempio) e ogni sottoinsieme tale che con il sottoinsieme tale che (puoi vederlo per ). Si noti che questo processo di scambio è un automorfismo poiché per un indice la relazione limite tra , e questi vertici scambiati è completamente preservata e chiaramente la relazione limite tra è regolato correttamente.S{i,j}SS{i,j}={i}S{i,j}={j}k=3p{i,j}apbpai,aj,bi,bj

Infine, per vedere che questi sono gli unici possibili automorfismi, si noti che ogni è colorato con il proprio colore. Quindi non possono essere mappati su un'altra coppia . Si noti inoltre che non è possibile avere un automorfismo che un vertice medio a un vertice medio senza scambiare alcuni con alcuni . ai,biaj,bjaibj


In generale, come possiamo dimostrare che possiamo sempre regolare i set nel mezzo e ottenere l'automorfismo desiderato? Il nocciolo del mio problema è in realtà quello.
DurgaDatta,

Ciao, ho aggiunto la costruzione degli automorfismi. Spero che sia d'aiuto.
Mateus de Oliveira Oliveira,

Grazie. Questo non mi sembra "immediato". Sono molto nuovo alla ricerca. È un cattivo segnale per me?
DurgaDatta,

"È un cattivo segnale per me?" Assolutamente no. Penso al contrario che il tuo scetticismo sia un ottimo segnale. Un giorno questo genere di cose sarà probabilmente immediato anche per te :)
Mateus de Oliveira Oliveira,

È vero che, per un insieme di indici (per ognuno dei quali stanno scambiando e ) un insieme di indici di un vertice medio viene trasformato in (differenza simmetrica)? TiTaibiSSΔT
DurgaDatta,
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