automorfismo nei gadget di Cai-Furer-Immerman

Nel famoso contro esempio di isomorfismo grafico tramite il metodo Weisfeiler-Lehman (WL) il seguente gadget è stato costruito in questo documento da Cai, Furer e Immerman. Costruiscono un grafico dato da$X_k = (V_k, E_k)$

$V_k = A_k \cup B_k \cup M_k \\ \text{ where } \\ \quad A_k = \{a_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \\ \quad B_k =\{b_i \mid 1 \leq i \leq k\}, \mbox{ and } \\ \quad M_k = \{ m_S \mid S \subseteq \{1,2,\ldots, k\},\ |S| \text{ is even} \}\\ E_k =\{(m_S,a_i) \mid i \in S\} \cup \{(m_S, b_i)\mid i \notin S\}$

Uno dei lemmi nel documento (lemma 3.1 pagina 6) afferma che se i vertici e con il colore allora (il colore deve essere preservato dall'automorfismo) dove ogni automorfismo corrisponde all'interscambio di e per ciascuno in alcuni sottoinsiemi di di cardinalità uniforme . Dicono che la prova è immediata. Ma non riesco a vedere come anche nel caso di . In è un vantaggio ma se abbiamo un automorfismo che scambia e$a_i$$b_i$$i$$|Aut(X_k)| = 2^{k-1}$$a_i$$b_i$$i$$S$$\{1,2,\ldots, k\}$X 2 ( a 1 , m { 1 , 2 } ) a 1 , b 1 a 2 , b 2 ( b 1 , m { 1 , 2 }$k= 2$$X_2 \ (a_1, m_{\{1,2\}})$$a_1, b_1$$a_2, b_2$il bordo sopra viene trasformato in che non è un bordo. Quindi questo non dovrebbe essere un automorfismo.$(b_1, m_{\{1,2\}})$

Vorrei capire qual è il mio malinteso.

Ti manca il emptyset che è collegato a tutte le . Per ottenere un automorfismo, selezionare un sottoinsieme di cardinalità uniforme e quindi scambiare con per ogni e quindi regolare i set nel mezzo. Nel tuo esempio il grafico è$\emptyset$$b$$T\subseteq \{1,...,k\}$$a_i$$b_i$$i\in T$

Sempre nel tuo esempio se non hai bisogno di fare nulla e se l'automorfismo viene dato scambiando con , con e con .$T=\emptyset$$T=\{1,2\}$$a_1$$b_1$$a_2$$b_2$$\{1,2\}$$\emptyset$

Ora, per il caso generale, dobbiamo mostrare che esiste sempre un modo per regolare i vertici medi. Sappiamo che ha persino cardinalità. Quindi lasciamo . Dobbiamo solo dimostrare che tale automorfismo esiste se poiché altrimenti può applicare la composizione di automorfismi corrispondenti al partizionamento in sottoinsiemi di dimensione . Quindi supponiamo che . Quindi l'automorfismo scambia con , con , ogni vertice medio tale che$T$$|T|=2r$$|T|=2$$r$$T$$r$$2$$T=\{i,j\}$$a_i$$b_i$$a_j$$b_j$$S$$S\cap\{i,j\}=\emptyset$con il vertice centrale (questo può essere visto nel tuo esempio) e ogni sottoinsieme tale che con il sottoinsieme tale che (puoi vederlo per ). Si noti che questo processo di scambio è un automorfismo poiché per un indice la relazione limite tra , e questi vertici scambiati è completamente preservata e chiaramente la relazione limite tra è regolato correttamente.$S\cup \{i,j\}$$S$$S\cap \{i,j\}=\{i\}$$S\cap \{i,j\}= \{j\}$$k=3$$p\neq \{i,j\}$$a_p$$b_p$$a_i,a_j,b_i,b_j$

Infine, per vedere che questi sono gli unici possibili automorfismi, si noti che ogni è colorato con il proprio colore. Quindi non possono essere mappati su un'altra coppia . Si noti inoltre che non è possibile avere un automorfismo che un vertice medio a un vertice medio senza scambiare alcuni con alcuni . $a_i,b_i$$a_j,b_j$$a_i$$b_j$$\square$