Limite superiore del grado di una funzione booleana in termini di sensibilità

Un problema aperto molto interessante nello studio delle misure di complessità della funzione booleana è la cosiddetta congettura di sensibilità vs sensibilità di blocco. Per informazioni sulla sensibilità rispetto alla sensibilità ai blocchi, è possibile consultare il seguente post di S. Aaronson all'indirizzo http://www.scottaaronson.com/blog/?p=453 .

Per quanto ne so, il limite superiore migliore conosciuto su in termini di è $bs(f)$ $s(f)$ . [Kenyon, documento di Kutin] Ma ovviamente forse è più conveniente mettere in relazionecon qualche altra misura di complessità disay, il grado dicome polinomio su, ovvero la dimensione del suo coefficiente di Fourier più alto . $bs(f)=O(e^{s(f)}\sqrt{s(f)})$ $s(f)$ $f$ $\deg(f)$ $f$ $\mathbb{R}$

La domanda è qual è il miglior limite superiore conosciuto su in termini di ? $\deg(f)$ $s(f)$

cc.complexity-theory reference-request fourier-analysis

— Mohammad Bavarese
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Puoi usare il risultato di Nisan-Szegedy secondo cui la complessità dell'albero decisionale deterministico è

e avrai

. Non so se sia meglio però.

D (f) \leq b s^{4} (f)

$D(f)\leq bs^4(f)$

\tilde{d e g} (f) = O (e^{4 s (f)} s^{2} (f))

$\widetilde{deg}(f)=O(e^{4s(f)} s^2(f))$

— Marcos Villagra,

Sono abbastanza fiducioso che nessuno abbia fatto di meglio che tramite la connessione menzionata da Marcos. È più naturale mettere in relazione s con bs. deg (f) è polinomialmente correlato alla maggior parte delle altre quantità, ad esempio D (f), bs (f), C (f), circa-deg (f), ecc. Potresti apprezzare l'indagine Buhrman-De Wolf sulla complessità dell'albero decisionale che esamina queste misure.

— Andy Drucker,

Penso che la prova di Simon degli anni '80 dia un limite leggermente migliore: qualcosa come

d e g (f) \leq D T (f) \leq 4^{s (f)} \cdot p o l y (s (f))

$deg(f) \le DT(f) \le 4^{s(f)}\cdot poly(s(f))$

— Avishay Tal,

Questo documento è uscito oggi su arXiv e migliora il limite superiore di in termini di . Dimostrano il seguente limite: $bs(f)$ $s(f)$

b s (f) \leq 2^{s (f) - 1} s (f) .

$bs(f) \leq 2^{s(f)-1}s(f).$

Questo, insieme alla connessione menzionata da Marcos nel suo commento, dovrebbe dare limiti migliori di quelli precedentemente noti.

— Alessandro Cosentino
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