È sufficiente che i vincoli del programma lineare siano soddisfatti nelle aspettative?

Nell'articolo Randomized Primal-Dual analysis of RANKING for Online Bipartite Matching , dimostrando che l'algoritmo RANKING è compatibile con , gli autori mostrano che il dual è fattibile in aspettativa (vedi Lemma 3 a pagina 5). La mia domanda è: $\left(1 - \frac{1}{e}\right)$

È sufficiente che i vincoli del programma lineare siano soddisfatti nelle aspettative?

Una cosa è dimostrare che il valore atteso della funzione obiettivo è qualcosa. Ma se i vincoli di fattibilità sono soddisfatti nell'aspettativa, non vi è alcuna garanzia che sarà soddisfatto in una determinata corsa. Inoltre, ci sono molti di questi vincoli. Allora, qual è la garanzia che TUTTI saranno soddisfatti in una determinata corsa?

— Arindam Pal
fonte

Potresti trovare utile leggere il breve post sul blog di Claire Mathieu su questa analisi. La frase chiave è "Ciò dimostra la fattibilità della media dei doppi". (La doppia soluzione che usi davvero, ed è fattibile, è la media dei doppi nell'analisi.)

— Neal Young

nota che la risposta alla tua domanda è sì anche in generale, nel senso che se i vincoli lineari sono soddisfatti nell'aspettativa, allora la soluzione data assegnando ad ogni variabile il suo valore atteso è fattibile (e ha un costo pari al costo atteso). le meraviglie della linearità dell'attesa;)

— Sasho Nikolov,

Grazie usul, Neal e Sasho per aver chiarito questo punto sottile.

— Arindam Pal,

Penso che la difficoltà sia che questa formulazione sia leggermente fuorviante; come affermano più chiaramente nell'Introduzione (1.2), "i valori attesi delle doppie variabili costituiscono una doppia soluzione fattibile".

Per ogni impostazione fissa delle doppie variabili , otteniamo una soluzione primaria di valore e una doppia soluzione di valore $X$ $f(X)$ . (Il doppio è impossibile in alcuni di questi casi, ma va bene.) $\frac{e}{e-1}f(X)$

Quindi il valore atteso del valore primario su tutte le esecuzioni dell'algoritmo è . Ma è una soluzione doppiamente fattibile, quindi esiste una doppia soluzione di valore $E[f(X)]$ $E[X]$ . Il trucco chiave è cheè lineare nelle variabili doppie: In effetti, qui le variabili doppie sonoe, e ogni corrispondenza del verticeconaggiunge un totale di $\frac{e}{e-1}f(E[X])$ $f(X)$ $X$ $\alpha_i$ $\beta_j$ $i$ $j$ all'obiettivo primario. Quindie la conclusione segue. $\left(\frac{e-1}{e}\right)(\alpha_i + \beta_j)$ $E[f(X)] = f(E[X])$

(Come nota a margine, ritengo che, poiché questo punto è uno dei punti focali principali del loro documento (secondo l'abstract), sarebbe stato più bello se avessero spiegato questo punto! Non sembra affatto ovvio che io e vorrei scoprire quando è vero più in generale.)

— usul
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risposta molto bella.

— Suresh Venkat,