Solutori NP ottimali

Risolvi un problema di ricerca NP completo, ad es. Il modulo di ricerca di SAT. La ricerca di Levin fornisce un algoritmo per risolvere che è ottimale in un certo senso. In particolare, l'algoritmo è "Esegui tutti i possibili programmi in coda di rondine sull'input , una volta che alcuni restituiscono risposte test se è corretto". È ottimale nel senso che dato un programma che risolve con complessità temporale , la complessità temporale di soddisfa $X \subset \lbrace 0,1 \rbrace^* \times \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $L$ $X$ $P$ $x$ $P$ $y$ $P$ $X$ $t_P(n)$ $t_L(n)$ $L$

t_{L} (n) < 2^{| P |} p (t_{P} (n))

$t_L(n) < 2^{|P|}p(t_P(n))$

dove è un polinomio fisso che dipende dal modello di calcolo preciso $p$

$L$ 'ottimalità di può essere formulata in un modo un po' più forte. Vale a dire, per ogni e un programma che risolve con la promessa nel tempo , la complessità temporale di limitata agli input in soddisfa $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_L^M(n)$ $L$ $M$

t_{L}^{M} (n) < 2^{| Q |} q (n, t_{Q}^{M} (n))

$t_L^M(n) < 2^{|Q|}q(n, t^M_Q(n))$

dove è un polinomio fisso. La differenza cruciale è che può essere ad esempio polinomiale anche se $q$ $t^M_Q(n)$ $P \neq NP$

L'ovvia "debolezza" di è il grande fattore in questo limite. È facile vedere che se esiste un algoritmo che soddisfa un limite della stessa forma con sostituito da un polinomio inquindi . Questo perché possiamo ritenere che sia un programma che risolve una determinata istanza di codificando a fondo la risposta. Allo stesso modo, se può essere sostituito da una funzione sub esponenziale diquindi viene violata l'ipotesi del tempo esponenziale. Tuttavia, la risposta alla seguente domanda è meno ovvia (per me): $L$ $2^{|Q|}$ $2^{|Q|}$ $|Q|$ $P = NP$ $Q$ $X$ $2^{|Q|}$ $|Q|$

Supponendo l'ipotesi del tempo esponenziale e altre congetture ben note (ad es. Non degenerazione della gerarchia polinomiale, esistenza di funzioni unidirezionali), se necessario, esiste un algoritmo risolve per ogni e un programma che risolve con la promessa nel tempo , la complessità temporale di limitata agli input in soddisfa $A$ $X$ $M \subset \lbrace 0,1 \rbrace^*$ $Q$ $X$ $M$ $t^M_Q(n)$ $t_A^M(n)$ $A$ $M$

$t_{A}^{M} (n) < f (| Q |) q (n, t_{Q}^{M} (n)) + g (| Q |)$ $t_A^M(n) < f(|Q|)q(n, t^M_Q(n)) + g(|Q|)$
dove è polinomiale, è sub-esponenziale e è arbitrario $q$ $f$ $g$

Se la risposta è positiva, può essere polinomio? Qual è il tasso di crescita di (chiaramente almeno esponenziale sotto ETH)? Se la risposta è negativa, può esistere il polinomio se ETH è sbagliato ma ? $f$ $g$ $f$ $P \neq NP$

cc.complexity-theory time-complexity p-vs-np

— Vanessa
fonte

Considera il seguente algoritmo (una variante dell'algoritmo di Levin):

Esegui i primi algoritmi in parallelo. Inoltre, esegui in parallelo un algoritmo a forza bruta che prova tutte le possibili soluzioni una per una. (Esegui tutti gli algoritmi con la stessa velocità.) $n$

Interrompi quando uno degli algoritmi trova una soluzione.

Considera due casi (dato un input di lunghezza ): $x$ $n$

$Q$ è uno dei primi algoritmi. Quindi il tempo di esecuzione è . $n$ $O(n \cdot t^M_Q(n)) \cdot \mathrm{poly}(n)$
$Q$ non è uno dei primi algoritmi (quindi ). Quindi il tempo di esecuzione è limitato dal tempo di esecuzione dell'algoritmo a forza bruta. Abbiamo che il tempo di esecuzione è . $n$ $n < 2^{|Q|}$ $2^{n^{O(1)}} = 2^{2^{O(|Q|)}}$

Abbiamo

t_{A}^{M} (n) \leq p o l y (n) \cdot t_{Q}^{M} (n) + 2^{2^{O (| Q |)}} .

$t^M_A(n) \leq \mathrm{poly}(n) \cdot t^M_Q(n) + 2^{2^{O(|Q|)}}.$

(Qui, è polinomiale e è doppia esponenziale in ; possiamo migliorare la dipendenza di su peggiorando la dipendenza di su .) $f(n)$ $g(n)$ $n$ $g(n)$ $n$ $f(n)$ $n$

— Yury
fonte

C'è una variante di questo che soddisfa in qualche modo un limite migliore, sebbene non sia della forma che ho richiesto. Vale a dire, invece di utilizzare un algoritmo a forza bruta, esegui la normale ricerca di Levin. Questo produce lo stesso limite con il secondo termine sostituito da ~

2^{| Q |} t_{Q}^{M} (2^{| Q |})

$2^{|Q|}t^M_Q(2^{|Q|})$

— Vanessa