Elementi minimi di un predicato monotonico sopra il powerset

Considera un predicato monotonico sopra il powerset (ordinato per inclusione). Per "monotonico" intendo: tale che , se quindi . Sto cercando un algoritmo per trovare tutti gli elementi minimi di , ovvero tale che $P$ $2^{|n|}$ $\forall x, y \in 2^{|n|}$ $x \subset y$ $P(x)$ $P(y)$ $P$ $x \in 2^{|n|}$ $P(x)$ ma , . Poiché la larghezza di è , potrebbero esserci in modo esponenziale molti elementi minimi, e quindi il tempo di esecuzione di un tale algoritmo potrebbe essere esponenziale in generale. Tuttavia, potrebbe esistere un algoritmo per questo compito che è polinomiale nella dimensione dell'output? $\forall y \subset x$ $\neg P(y)$ $2^{|n|}$ $n \choose n/2$

[Contesto: è stata posta una domanda più generale, ma non vi è stato alcun tentativo nelle risposte per valutare la complessità dell'algoritmo nella dimensione dell'output. Se suppongo che esista un solo elemento minimo, ad esempio, posso eseguire una ricerca binaria seguendo questa risposta e trovarla. Tuttavia, se voglio continuare a trovare elementi più minimi, devo mantenere le informazioni correnti che ho su in un modo che renderebbe tracciabile per continuare la ricerca senza perdere tempo su ciò che è già noto. È possibile farlo e trovare tutti gli elementi minimi in tempo polinomiale nella dimensione dell'output?] $P$

Idealmente, vorrei capire se ciò può essere fatto con DAG generali, ma già non so come rispondere alla domanda per . $2^{|n|}$

— a3nm
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Il powerset ordinato per inclusione è un DAG (con le varie parti di come vertici e uno spigolo tra coppie di parti incluse l'una nell'altra, mantenendo solo la riduzione transitiva di questo grafico per rimuovere i bordi ridondanti implicati dalla transitività). Sembra naturale porre la stessa domanda sui DAG arbitrari.

2^{| n |}

$2^{|n|}$

{1, . . ., n}

$\{1, ..., n\}$

— a3nm,

Il tuo problema è noto nella letteratura di apprendimento come "apprendimento delle funzioni monotone utilizzando le query di appartenenza". Una classe di funzioni monotone per la quale è possibile identificare tutti i minterm è nota come "apprendibile polinomialmente usando le query di appartenenza".

Sembra che l'esistenza di un algoritmo temporale polinomiale sia ancora aperta. Schmulevich et al. dimostrare che "Quasi tutte le funzioni booleane monotone sono apprendibili polinomialmente utilizzando le query di appartenenza". Se si richiede inoltre che il th mintermine essere generato in tempo polinomiale in e , allora il problema è equivalente a monotona dualizzazione, come dimostrato da Bioch e Ibaraki . Ecco un sondaggio sulla dualizzazione monotona. $t$ $n$ $t$

— Yuval Filmus
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Grazie per questa risposta estremamente utile. Sei a conoscenza di generalizzazioni a DAG arbitrari (vale a dire, più dei casi speciali nella sezione 5.2 di Eiter et al.)?

— a3nm,

No, sfortunatamente no.

— Yuval Filmus,

OK, accetterò comunque questa risposta. Note aggiuntive: (1) questa risposta riguarda la complessità computazionale, non la complessità del numero di valutazioni di (vedere cstheory.stackexchange.com/a/14862/4795 per quest'ultimo caso) e (2) l'apertura esatta la domanda è "puoi imparare una funzione booleana monotona in tempo polinomiale in e il suo numero di minimi e massimi", non c'è speranza di farlo in tempo polinomiale in e il numero di massimi perché può esserci un numero lineare di massimi ma un numero esponenziale di minimi (cfr. paragrafo 6.1 paragrafo 2 nell'indagine di cui sopra).

P

$P$

n

$n$

n

$n$

— a3nm,

Vedi la mia altra domanda cstheory.stackexchange.com/q/16258/4795 per informazioni sulla complessità globale delle query nel caso peggiore per DAG arbitrari.

— a3nm

re dualizzazione monotona (CNF ← → DNF) e DAG. suona molto come un teorema della complessità della funzione booleana del libro jukna sec 9.4. "criterio limite inferiore" thm 9,17

— vzn