Regolarità Lemma per grafici sparsi

La regolarità di Szemeredi Lemma afferma che ogni grafico denso può essere approssimato come un'unione di $O(1)$ molti grafici di espansori bipartiti. Più precisamente, esiste una partizione della maggior parte dei vertici in serie $O(1)$ tale che la maggior parte delle coppie di serie forma espansori bipartiti (il numero di serie nella partizione e il parametro di espansione dipendono dal parametro di approssimazione):

http://en.wikipedia.org/wiki/Szemer%C3%A9di_regularity_lemma

Esistono versioni di questo lemma per grafici sparsi "ben educati", vedi ad esempio:

http://www.estatistica.br/~yoshi/MSs/FoCM/sparse.pdf

http://people.maths.ox.ac.uk/scott/Papers/sparseregularity.pdf

Ciò che mi sorprende di queste formulazioni è che garantiscono solo che la maggior parte delle coppie di insiemi nella partizione formano espansori bipartiti e questi espansori bipartiti possono essere vuoti. Quindi, in grafici sparsi in generale, è del tutto possibile che tutti i bordi tra parti diverse nella partizione dei vertici non appartengano a un espansore.

Mi chiedo se ci sono formulazioni che danno che la maggior parte dei bordi tra le parti provengono da un espansore o se non c'è speranza per una tale formulazione.

graph-theory co.combinatorics expanders

— Dana Moshkovitz
fonte

ma non sembra intuitivo che il thm, che è per grafi densi, si rompe in qualche modo su quelli radi? nota che il riferimento di Wikipedia collegato a in realtà non dice nulla sui grafici di expander che suggerisce che potrebbe effettivamente essere una successiva interpretazione / formulazione ...

— vzn

(1) Il termine abituale per le coppie di insiemi che si comportano bene sono "coppie regolari" (in Wikipedia coppie "pseudo-casuali"). L'ho sostituito da "espansori bipartiti" perché trovo questa terminologia più naturale per me. In ogni caso, l'intenzione è che se si selezionano sottoinsiemi abbastanza grandi da entrambi i lati della coppia, il numero di spigoli tra i sottoinsiemi è proporzionale al numero di spigoli nella coppia. (2) Naturalmente ciò che è vero per i grafici densi può smettere di essere vero per i grafici sparsi. La mia domanda riguarda esattamente la misura in cui le proprietà del caso denso continuano a rimanere valide nel caso sparso.

— Dana Moshkovitz,

Segue una risposta prolisso, ma tl; dr nel caso generale non c'è speranza per una tale formulazione, ma per molte delle particolari classi di grafi sparsi che offrono regolarità Lemmi esiste questa formulazione.

Per lo sfondo, ci sono due versioni popolari di SRL. Esse sono: per qualsiasi $\varepsilon > 0$ fisso e qualsiasi grafico $n$ nodo $G = (V, E)$ , si può partizionare $V = V_0 \cup V_1 \cup \dots \cup V_p$ in $p = O_{\varepsilon}(1)$ parti in modo tale. ..

(Combinatorial Phrasing) (1) $|V_0| \le \varepsilon n$ e le dimensioni di qualsiasi $V_1, \dots, V_p$ differiscono al massimo per $1$ ( $V_0$ è chiamato "insieme eccezionale") e (2) tutti tranne $\varepsilon p^2$ coppie delle parti rimanenti $(V_i, V_j)$ soddisfare
$| d (S, T) - d (V_{i}, V_{j}) | < ε for all S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}$ $\left|d(S, T) - d(V_i, V_j)\right| < \varepsilon \text{ for all } S \subseteq V_i, T \subseteq V_j$ (qui $d(\cdot, \cdot)$ indica la densità tra le parti, ovvero la frazione dei bordi presenti).

$d i s c (V_{i}, V_{j}) := max_{S \subseteq V_{i}, T \subseteq V_{j}} | V_{i} | | V_{j} | | d (V_{i}, V_{j}) - d (S, T) |,$ $\mathop{disc}(V_i, V_j) := \max \limits_{S \subseteq V_i, T \subseteq V_j} |V_i||V_j|\left|d(V_i, V_j) - d(S, T)\right|,$ $\sum_{i, j = 0}^{p} d i s c (V_{i}, V_{j}) < ε n^{2} .$ $\sum \limits_{i, j =0}^p \mathop{disc}(V_i, V_j) < \varepsilon n^2.$

Il "fraseggio combinatorio" (ho appena inventato questi nomi, non sono standard) è l'originale e probabilmente più famoso, mentre il "fraseggio analitico" è più moderno e correlato ai limiti dei grafici, ecc. (Penso che sia stato reso popolare qui). A mio avviso, quello analitico è la corretta formalizzazione del "grafico approssimato dall'unione degli espansori bipartiti", poiché fornisce un controllo sull'errore "totale" di tale approssimazione e non esiste un insieme eccezionale in cui nascondere la massa. Ma a questo punto questo è solo cosmetico, perché è un lemma facile ma importante che queste due frasi sono equivalenti. Per passare dal combinatorio all'analitico, solo l'unione ha limitato il contributo alla discrepanza delle parti irregolari e del set eccezionale. Per passare da Analitico a Combinatorio, basta spostare qualsiasi parte che contribuisca a una discrepanza eccessiva al set eccezionale e applicare la Disuguaglianza di Markov per controllare la sua massa.

Ora per una scarsa regolarità. L'obiettivo di regolarità sparse è quello di sostituire il nelle rispettive disuguaglianze con , dove è la frazione di tutte le possibili bordi presentano in . Criticamente, con questa modifica, le due frasi non sono più equivalenti. Piuttosto, il fraseggio analitico è più forte: implica ancora il Combinatorio esattamente come prima, ma il Combinatorio generalmente non implica Analitico, perché (come anticipato nel PO) si può potenzialmente nascondere molta densità nell'insieme eccezionale o tra il non regolare coppie di parti. In effetti, questa separazione è formale: i grafici con limite inferiore per il denso SRL (diciamo, questo $\varepsilon$ $\varepsilon d(G)$ $d(G)$ $G$ ) implica che l'Analisi analitica non si estende in generale ai grafici sparsi, ma il documento di Scott collegato nell'OP mostra che la Frase combinatoria in realtà si estende a tutti i grafici sparsi senza condizioni.

Il sondaggio collegato nel PO parla principalmente di un SRL per grafici sparsi "superiori regolari", il che significa approssimativamente che il grafico non ha tagli più densi della media di più di un fattore costante. Per questi grafici particolari, le frasi combinatorie e analitiche sono equivalenti, perché non ci può essere troppa massa extra nascosta nelle parti eccezionali, quindi il loro contributo alla discrepanza può essere limitato come nel caso denso. Quindi questi grafici hanno un'interpretazione "approssimata dall'unione di espansori bipartiti".

Infine, dovrei menzionare che ci sono molte altre ipotesi in letteratura che implicano anche l'equivalenza tra queste frasi. Ad esempio, superiore Regolarità (definito qui ) è più generale di Alta regolarità ed è ancora sufficiente per implicare equivalenza. Tuttavia, per questa classe di grafici e altri, sono a conoscenza solo dei lemmi di debolezza associati associati . $L_p$

— GMB
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Inoltre, mi scuso per la negromanzia del thread: questo è appena riuscito ad allinearsi con la mia attuale recensione illuminata e ho pensato di condividere ciò che ho trovato.

— GMB