Qual è la complessità spaziale del calcolo degli autovalori?

Sto cercando un documento di indagine o un libro che copra i risultati sulla complessità dello spazio delle comuni operazioni di algebra lineare come rango di matrice, calcolo degli autovalori, ecc. Sottolineo la parte "complessità dello spazio" che significa complessità dello spazio di lavoro, piuttosto che complessità temporale poiché è più facile tracciare i risultati nel tempo. Apprezzo qualsiasi riferimento in merito.

Grazie.

linear-algebra space-complexity

— gil
fonte

La mia ipotesi è che la complessità sia sempre al massimo lineare (ad es.

per una matrice

). Sei interessato allo "spazio totale" o allo "spazio di lavoro"?

O (n m)

$O(nm)$

n \times m

$n\times m$

— Yuval Filmus,

avrei dovuto dire che sono interessato allo spazio di lavoro.

— Gil

Sono sicuro che è

per una matrice

. Il motivo di base è che conosco due metodi utili per calcolarli ed entrambi sono quadratici nello spazio. Il primo è calcolare il polinomio caratteristico (quadratico) e trovare le radici. In secondo luogo sta usando alcuni metodi di approssimazione che hanno tutti bisogno di memorizzare una matrice modificata (ma non posso approfondire questo, è da un po 'che non studiavo l'algebra lineare numerica).

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

n \times n

$n\times n$

— giovedì

Per espandere sul punto sollevato da @Yuval Filmus, la complessità dello spazio è abbastanza sensibile al modello di calcolo specifico. In particolare, poiché l'output è di dimensioni lineari, è possibile riprodurre i trucchi utilizzando il nastro di output come area di lavoro a meno che il modello non specifichi chiaramente un nastro di output di sola scrittura. Per evitare tali problemi, sarei tentato di riformulare come problemi di decisione (ad esempio dato come input tre matrici, controlla se il terzo è il prodotto dei primi due). Potresti specificare il modello che avevi in mente? (Inoltre, non sono a conoscenza di libri sulla complessità dello spazio e non ho trovato nessun sondaggio utile.)

— András Salamon,

per quanto riguarda @ AndrásSalamon, quindi una versione della decisione che può essere utile per me può essere: è il k'autovalore in maggiore di q. per intero k e razionale q. Grazie.

— Gil

Risposte:

Le versioni decisionali di molti problemi comuni nell'algebra lineare sugli interi (o razionali) sono nella classe , vedi l'articolo $\mathsf{DET}$

Gerhard Buntrock, Carsten Damm, Ulrich Hertrampf, Christoph Meinel: struttura e importanza di Logspace-MOD Class. Mathematical Systems Theory 25 (3): 223-237 (1992)

è contenuto in $\mathsf{DET}$ . $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$

Il calcolo degli autovalori è un po 'più delicato:

1) In $\mathsf{DSPACE}(\log^2)$ , si possono calcolare i coefficienti del polinomio caratteristico.

2) Quindi è possibile utilizzare l'algoritmo parallelo di Reif e Neff per calcolare le approssimazioni agli autovalori. L'algoritmo gira su una CREW-PRAM in tempo logaritmico con molti processori polinomiali, quindi può essere simulato con spazio poliarlogaritmico. (Non è esplicitamente indicato nel documento, ma la loro PRAM dovrebbe essere uniforme nello spazio tra tronchi.) Lo spazio utilizzato è pollogaritmico nella dimensione della matrice di input e nella precisione . Precisione significa che si ottengono approssimazioni fino a un errore additivo di . $p$ $p$ $2^{-p}$

Questa è una concatenazione di funzioni calcolabili nello spazio poliarlogaritmico. (I nastri di output sono di sola scrittura e di sola andata.)

C. Andrew Neff, John H. Reif: un algoritmo efficiente per il problema delle radici complesse. J. Complexity 12 (2): 81-115 (1996)

— Markus Bläser
fonte

$log^2$ $NC^2$

— Lior Eldar
fonte