Un'estensione dell'operatore di rumore

In un problema su cui sto attualmente lavorando, un'estensione dell'operatore di rumore si presenta naturalmente ed ero curioso di sapere se ci sono stati lavori precedenti. Prima di tutto, vorrei rivedere l'operatore di rumore di base $T_{\varepsilon}$ sulle funzioni booleane con valore reale. Data una funzione $f: \{0,1\}^n \to \mathbb{R}$ e $\varepsilon$ , $p$ st $0 \leq \varepsilon \leq 1$ , $\varepsilon = 1 - 2p$ , definiamo $T_{\varepsilon} \to \mathbb{R}$ come $T_{\varepsilon} f(x) = E_{y \sim \mu_p} [f(x+y)]$

$\mu_p$ è la distribuzione su$y$ ottenuta impostando ciascun bit di unvettore$n$ -bit su$1$ indipendentemente dalla probabilità$p$ e$0$ altrimenti. Allo stesso modo, possiamo pensare a questo processo come lanciare ogni bit di$x$ con probabilità indipendente$p$ . Ora questo operatore di rumore ha molte proprietà utili, tra cui essere moltiplicativo$T_{\varepsilon_1} T_{\varepsilon_2} = T_{\varepsilon_1 \varepsilon_2}$ e avere simpatici autovalori e autovettori ($T_{\varepsilon}(\chi_S) = \varepsilon^{|S|} \chi_S$ dove$\chi_S$ appartiene alla base di parità).

Vorrei ora definire la mia estensione di $T_\varepsilon$ , che denoto come $R_{(p_1,p_2)}$ . $R_{(p_1,p_2)} \to \mathbb{R}$ è dato da $R_{(p_1,p_2)} f(x) = E_{y \sim \mu_{p,x}} [f(x+y)]$ . Ma qui la nostra distribuzione $\mu_{p,x}$ è tale che capovolgiamo i$1$bit di$x$a$0$con probabilità$p_1$ e$0$bit di$x$a$1$con probabilità$p_2$ . ($\mu_{p,x}$ ora è chiaramente una distribuzione dipendente dalla$x$cui viene valutata la funzione e se$p_1 = p_2$ quindi$R_{(p_1,p_2)}$ riduce all'operatore di rumore "normale".

Mi chiedevo, questo operatore già stato ben studiato da qualche parte in letteratura? O le proprietà di base sono evidenti? Sto solo iniziando con l'analisi booleana, quindi questo potrebbe essere semplice per qualcuno che abbia più familiarità con la teoria di me. In particolare, mi interessa sapere se gli autovettori e gli autovalori hanno una bella caratterizzazione o se esiste una proprietà moltiplicativa.$R_{(p_1,p_2)}$

Risponderò alla seconda parte della domanda.

I. Autovalori e autofunzioni

Consideriamo innanzitutto il caso monodimensionale . È facile verificare che l'operatore R p 1 , p 2 abbia due autofunzioni: 1 e ξ ( x ) = ( p 1 + p 2 ) x - p 1 = { - p 1 ,  se  x = 0 , p 2 ,  se  x = 1. con autovalori 1 e$n=1$$R_{p_1,p_2}$$1$

$$\xi(x) = (p_1+p_2)x - p_1 = \begin{cases} -p_1, &\text{ if } x =0,\\ p_2, &\text{ if } x =1. \end{cases}$$ $1$ , rispettivamente.$1-p_1 - p_2$

Ora considera il caso generale. Per , lascia ξ S ( x ) = ∏ i ∈ S ξ ( x i ) . Osservare che ξ S è un'autofunzione di R p 1 , p 2 . Infatti poiché tutte le variabili x i sono indipendenti, abbiamo R p 1 , p 2 ( ξ ( x ) $S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x) = \prod_{i\in S} \xi(x_i)$$\xi_S$$R_{p_1,p_2}$$x_i$

$$\begin{align*} R_{p_1,p_2}(\xi(x)) &= R_{p_1,p_2}\left(\prod_{i\in S} \xi(x_i)\right) = \prod_{i\in S} R_{p_1,p_2}(\xi(x_i)) \\ &= \prod_{i\in S}\left((1-p_1 - p_2)\xi(x_i)\right) = (1-p_1 - p_2)^{|S|} \xi_S(x). \end{align*}$$

Otteniamo che è una autofunzione di R p 1 , p 2 con autovalore ( 1 - p 1 - p 2 ) | S | per ogni S ⊂ { 1 , ... , n } . Poiché le funzioni ξ S ( x ) coprono l'intero spazio, R p 1 , p $\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$$(1-p_1-p_2)^{|S|}$$S\subset \{1,\dots,n\}$$\xi_S(x)$$R_{p_1,p_2}$non ha altre autofunzioni (che non sono combinazioni lineari di ).$\xi_S(x)$

II. Proprietà moltiplicativa

In generale, la "proprietà moltiplicativa" non vale per poiché l'autofisica di R p 1 , p 2 dipende da p 1 e p 2 . Tuttavia, abbiamo R 2 p 1 , p 2 = R p ′ 1 , p ′ 2 , dove p ′ 1 = 2 p 1 - ( p 1 + $R_{p_1,p_2}$$R_{p_1,p_2}$$p_1$$p_2$

$$R_{p_1,p_2}^2 = R_{p_1',p_2'},$$ $p_1' = 2p_1- (p_1+p_2)p_1$$p_2' = 2p_2- (p_1+p_2)p_2$$R_{p_1,p_2}$$R_{p_1',p_2'}$$\{\xi_S\}$ $$R_{p_1,p_2}^2(\xi_S) = (1-p_1-p_2)^{2|S|} \xi_S=(1-p_1'-p_2')^{|S|}\xi_S = R_{p_1',p_2'} (\xi_S)$$ since $$\begin{align*} 1-p_1'-p_2' &= 1 - p_1\cdot (2- (p_1+p_2)) - p_2\cdot (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - (p_1+p+2) (2- (p_1+p_2)) \\ &= 1 - 2(p_1 +p_2) + (p_1 + p_2)^2 = (1-p_1-p_2)^2. \end{align*}$$

III. Relation to the Bonami—Beckner operator

Let us think of functions from $\{0,1\}^n$ to ${\mathbb R}$ as polylinear polynomials. Let $\delta = \frac{1}{2}\cdot \frac{p_1-p_2}{p_1+p_2}$. Consider the operator

$$A_{\delta}(f) = f(x_1 + \delta, \dots, x_n + \delta).$$ It maps every multilinear polynomial $f$ to a multilinear polynomial $A[f]$. We have, $$R_{p_1,p_2}(f) = A_{\delta}^{-1} T_{\varepsilon}A_{\delta}(f),$$ where $\varepsilon = 1 - p_1 - p_2$. Note that parts I and II follow from this formula and properties of the Bonami—Beckner operator.

We were eventually able to analyze hypercontractive properties of $R_{p_1, p_2}$ (http://arxiv.org/abs/1404.1191), building off of the main Fourier analysis of $R_{p,0}$ by Ahlberg, Broman, Griffiths and Morris (http://arxiv.org/abs/1108.0310).

To summarize, the effect of a biased operator $R_{p,0}$ on a function $f$ can be analyzed as a symmetric noise operator in a biased measure space. This gives a weak form of hypercontractivity, which depends on how the $\ell_2$ norm of $f$ varies when switching to a choice of biased measure $\mu$ dependent on $p$.