Equilibratura formula booleana in

Sto cercando riferimenti sulla complessità del problema di bilanciamento della formula booleana . In particolare,

1. Era noto che le formule booleane possono essere bilanciate in $\mathsf{AC^0}$ ?
2. Esiste una semplice prova del bilanciamento della formula booleana in $\mathsf{AC^0}$ ?

Per "semplice" intendo una dimostrazione più semplice di quella che menziono di seguito, in particolare cerco una dimostrazione che non dipende dalla valutazione della formula booleana in $\mathsf{NC^1}$ .

sfondo

Qui tutte le classi di complessità menzionate sono quelle uniformi.

BFB (bilanciamento formula booleana):
data una formula booleana $\varphi$ ,
trova una formula booleana equilibrata equivalente.

Sono interessato alla complessità di questo problema, in particolare semplici prove che dimostrano che il problema è in $\mathsf{AC^0}$ (o anche $\mathsf{TC^0}$ o $\mathsf{NC^1}$ ). Gli argomenti di bilanciamento comuni come quelli basati sul lemma di Spira applicano ripetute modifiche strutturali all'albero della formula che sembrano dare solo $BFB \in \mathsf{NC^2}$ .

Ho una prova per $BFB \in \mathsf{AC^0}$ , tuttavia la prova non è semplice e dipende dalla prova di $BFE \in \mathsf{NC^1}$ .

BFE (booleano valutazione formula)
Data una formula booleana e un assegnamento di verità τ per le variabili in φ , non τ soddisfare φ ( τ ⊨ φ )?$\varphi$$\tau$$\varphi$
$\tau$$\varphi$$\tau \vDash \varphi$

È noto dal celebre risultato di Sam Buss che la valutazione della formula booleana ( ) può essere calcolata in N C 1 = A L o g T i m e (vedi [Buss87] e [BCGR92] ).$BFE$$\mathsf{NC^1} = \mathsf{ALogTime}$

Ne consegue (abbastanza sorprendentemente, almeno per me) che il bilanciamento delle formule booleane ( ) è anche in N C 1 :$BFB$$\mathsf{NC^1}$

L'idea è che possiamo hardcodificare nelle porte di ingresso di B F E per ottenere una formula equivalente a φ e questa è un'operazione completamente sintattica calcolabile in A C 0 . Poiché B F E ha formule bilanciate, otteniamo una formula bilanciata equivalente per φ . In altre parole, l'algoritmo è:$\varphi$$BFE$$\varphi$$\mathsf{AC^0}$$BFE$$\varphi$

Motivazione

Un argomento più semplice per in (o o anche ) darebbe una nuova prova più semplice di poiché è facile vedere che la versione bilanciata di BFE può essere risolta in e possiamo comporla con e il risultato sarà in .A C 0 T C 0 N C 1 B F E ∈ N C 1 N C 1 B F B N C $BFB$$\mathsf{AC^0}$$\mathsf{TC^0}$$\mathsf{NC^1}$$BFE \in \mathsf{NC^1}$$\mathsf{NC^1}$$BFB$$\mathsf{NC^1}$

Domande

1. Era noto che le formule booleane possono essere bilanciate in ( )? B F B ∈ A C $\mathsf{AC^0}$$BFB\in \mathsf{AC^1}$
2. Esiste un argomento più semplice (ad es. Non basarsi su ) per ? B F B ∈ A C $BFE\in \mathsf{NC^1}$$BFB\in\mathsf{AC^0}$

Non sono sicuro che questo sia molto rilevante, ma in Algoritmi log-spazio per percorsi e abbinamenti in k-alberi (basato su una lunga storia di lavori passati e in particolare sulle classi di aritmetizzazione intorno a NC1 e L di Limaye-Mahajan-Rao) mostriamo come trovare separatori bilanciati ricorsivi per un albero in Logspace. Questo limite potrebbe benissimo essere migliorabile a se l'albero di input viene dato direttamente nella rappresentazione di stringa.$\mathsf{NC}^1$

L'idea di base è quella di rappresentare l'albero come espressione tra parentesi e trovare separatori bilanciati per questi. Si noti che troviamo separatori di foglie, ovvero sottotemi che sono bilanciati rispetto al numero di foglie.