Riconoscimento dei grafici a linee degli ipergrafi

Il grafico a linee di un ipergrafo è il (semplice) grafico con bordi di poiché vertici con due bordi di sono adiacenti in se hanno intersezione non vuota. Un ipergrafo è un -hypergraph se ciascuno dei suoi bordi ha al massimo vertici.G H H G r $H$$G$$H$$H$$G$$r$$r$

Qual è la complessità del seguente problema: dato un grafico , esiste un ipergrafo tale che è il grafico lineare di ?3 H G $G$$3$$H$$G$$H$

E 'ben noto che il riconoscimento grafici lineari di -hypergraph è polinomiale, ed è noto (da Poljak et al., Discrete Appl. Math. 3 (1981) 301-312) che riconoscere grafici lineari di -hypergraphs è NP -completo per qualsiasi risoluzione fissa . r r ≥ $2$$r$$r \ge 4$

Nota: nel caso di ipergrafie semplici, ovvero tutte le iperedge sono distinte, il problema è NP-completo, come dimostrato nel documento di Poljak et al.

Ho trovato la versione ufficiale della prestampa di Skums et al. indicato da @mhum; è qui: Discrete Mathematics 309 (2009) 3500–3517 . Lì, gli autori hanno corretto la loro citazione come segue:

La situazione cambia radicalmente se si prende invece di . Lovasz ha posto il problema di caratterizzare la classe e ha osservato che non ha una caratterizzazione da un elenco finito di sottografi indotti proibiti ( una caratterizzazione finita ) [9]. È stato dimostrato che i problemi di riconoscimento " " per " " [15], " " per e il problema del riconoscimento dei grafici di intersezione dei bordi di - gli ipergrafi uniformi senza bordi multipli [15] sono NP-completi.k = 2 L 3 G ∈ L k k ≥ 4 G ∈ L l 3 k ≥ 3 $k \ge 3$$k = 2$$L_3$$G \in L_k$$k \ge 4$$G \in L^l_3$$k \ge 3$$3$

Il riferimento 15 è il già citato Poljak et al. (1981).

Quindi, penso, riconoscere i grafici lineari di ipergrafi (con più bordi consentiti) è un PROBLEMA APERTO , e la risposta di @mhum è stata davvero utile in questo risultato. Grazie!$3$

Non ho accesso a Poljak et al. carta, ma il riassunto qui sembra indicare che il riconoscimento line-grafici di -hypergraphs è NP-completo per , non . Inoltre, la citazione nei grafici di intersezione Edge di ipergrafi lineari a 3 uniformi , Skums et al. (pdf) sembra indicare che questo è il caso:r ≥ 3 $r$$r \geq 3$$4$

La situazione cambia principalmente se si prende invece di . Lovasz ha posto il problema di caratterizzare la classe e ha notato che non ha una caratterizzazione da un elenco finito di sottografi indotti proibiti ( una caratterizzazione finita ) [10]. È stato dimostrato che i problemi di riconoscimento " " [17] e " " per [5] sono NP-completi.k = 2 L 3 G ∈ L 3 G ∈ L l k k ≥ $k=3$$k=2$$L_3$$G \in L_3$$G \in L^l_k$$k\geq3$

Il riferimento 17 in quel documento è il già citato Poljak et al. (1981). è la classe di ipergrafi a 3 uniformi e è la classe di ipergrafi a 3 uniformi lineari.L l $L_3$$L^l_3$