Costruttività in prova naturale e complessità geometrica

Di recente, Ryan Willams ha dimostrato che la costruttività nella prova naturale è inevitabile per derivare una separazione delle classi di complessità: e . T C $\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^{0}$

La costruttività in Natural Proof è una condizione che soddisfa tutte le prove combinatorie nella complessità del circuito e che possiamo decidere se la funzione target in (o un'altra classe di complessità "difficile") ha una proprietà "dura" da un algoritmo che esegue in poli-tempo nella lunghezza della tabella di verità della funzione bersaglio.$\mathsf{NEXP}$

Le altre due condizioni sono: condizione inutile che richiede la proprietà "difficile" non può essere calcolata da alcun circuito in e condizione di grandezza che la proprietà dura è facile da trovare.$\mathsf{TC}^0$

La mia domanda è :

Questo risultato rende la Teoria della complessità geometrica (GCT) non disponibile per risolvere i principali problemi di separazione come vs , vs o vs ?N P P N C N E X P T C$\mathsf{P}$$\mathsf{NP}$$\mathsf{P}$$\mathsf{NC}$$\mathsf{NEXP}$$\mathsf{TC}^0$

Riferimenti:

• Ryan Williams, " Prove naturali contro derandomizzazione "

No, l'inevitabilità della costruttività sicuramente lascia comunque aperto GCT come piano di attacco praticabile su problemi con limiti inferiori come $NP$ vs. $P/poly$ .

Innanzitutto, vale la pena ricordare che il risultato di Ryan sulla costruttività è molto simile nel sapore ai cosiddetti "Flip Theorems" di Mulmuley, che dicono, ad esempio, che se il permanente non ha circuiti aritmetici polivalenti, allora c'è un serie costruibile randomizzata di poli-tempo di (polinomialmente molte) matrici tale che ogni piccolo circuito differisce dal permanente su una di queste matrici. Vedi Explicit Proofs and The Flip, Rapporto tecnico, Dipartimento di Informatica, Università di Chicago, settembre 2010 di Mulmuley.$\{M_1, \dotsc, M_{p(n)}\}$

In secondo luogo, la centralità della simmetria-caratterizzazione (menzionata già da Siuman) in GCT è diventata più evidente dal sondaggio di Regan. Se la caratterizzazione della simmetria risulta essere cruciale per GCT come sembra, allora questo aggira già la condizione di grandezza. Per la definizione di simmetria-caratterizzazione, vedere questa risposta a una domanda precedente strettamente correlata .

Per una prova che la caratterizzazione della simmetria viola la grandezza, vedere la Sezione 3.4.3 "La caratterizzazione della simmetria evita la barriera di Razborov-Rudich" nella mia tesi (self plug spudorati, ma non so da nessun'altra parte dove sia scritto così completamente) . Ho il sospetto che violi anche la costruttività, ma ho lasciato lì una domanda aperta. (In precedenza nel capitolo 3 c'è anche una panoramica dei teoremi di vibrazione in GCT e di come si relazionano alla caratterizzazione della simmetria.)

(Trovo interessante che la caratterizzazione della simmetria - la stessa proprietà che sospettiamo sarà usata nel GCT che circonda Razborov - Rudich - è usata per dimostrare i teoremi di vibrazione, che essenzialmente dicono che è necessaria la costruttività.)

Infine, vale la pena ricordare che, sebbene nelle lunghe scopi conduzione GCT a indirizzo rispetto P / p o l y altri problemi booleane e, al momento più lavoro in GCT è focalizzata sulla analoghi algebrica di queste, come sopra il complesso numeri e non esiste ancora un analogo algebrico di Razborov - Rudich (che io conosco).$NP$$P/poly$

N E X P ∩ c o N E X P ⊄ A C $NEXP \not\subset TC^0$$NEXP \cap coNEXP \not\subset ACC$

Ora, la risposta alla tua domanda è no. È ancora molto possibile che le tecniche basate su GCT possano separare da .N $P$$NP$

Qualche altro commento a riguardo: la relazione tra GCT e Natural Proofs è stata discussa in passato (anche nei documenti GCT originali stessi). Sebbene non sembri esserci un consenso su quale "costruttività" o "grandezza" sarebbe stata violata dall'approccio GCT, Mulmuley e Sohoni hanno sostenuto ad un certo punto che se GCT potesse essere eseguita, dovrebbe violare la grandezza. Per un riferimento pertinente, consultare la sezione 6 della panoramica di Regan di GCT . Tuttavia, dovrei aggiungere che questa panoramica ha già 10 anni e da allora una grande quantità di lavoro è stata dedicata alla GCT; Non sono sicuro che ci siano opinioni riviste / nuove su questo. (Forse Josh Grochow può suonare?)

La risposta breve è No .

L'approccio della Teoria della complessità geometrica prende di mira alcune proprietà estremamente rare, che secondo Mulmuley non sono "grandi" come definite da Razborov e Rudich. Per un argomento formale, vedi anche la tesi di Joshua Grochow , Sezione 3.4.3. La caratterizzazione della simmetria evita la barriera di Razborov-Rudich e la sua risposta .

Il seguente paragrafo deriva da On P vs. NP e Teoria della complessità geometrica di Ketan Mulmuley ( JACM 2011 o manoscritto ), Sezione 4.3 Un piano di alto livello :

L'obiettivo è eseguire esplicitamente questi passaggi, sfruttando la caratterizzazione mediante simmetrie del permanente e del determinante. Specificheremo cosa significa esplicitamente in seguito; cf. Ipotesi 4.6. Questo approccio è estremamente rigido nel senso che funziona solo per funzioni dure estremamente rare che si caratterizzano per le loro simmetrie. Questa rigidità estrema è molto più di quanto è necessario per aggirare la barriera di prova naturale [Razborov e Rudich 1997].

Dal momento che entrambe le condizioni di costruttività e di grandezza sono richieste per una prova naturale (dove l'utilità è implicita), dimostrare che la costruttività è inevitabile non è sufficiente per escludere tali approcci (anche se un grande passo avanti).