I tipi ricorsivi MALL + senza restrizioni sono completi?

Se osservi i combinatori ricorsivi nel calcolo lambda non tipizzato, come il combinatore Y o il combinatore omega: È chiaro che tutti questi combinatori finiscono per duplicare una variabile da qualche parte nella loro definizione.

\begin{array}{lcl} ω & = & (λ X . X X) (λ X . X X) \\ Y & = & λ f . (λ X . f (X X)) (λ X . f (X X)) \end{array}

$\begin{array}{lcl} \omega & = & (\lambda x.\,x\;x)\;(\lambda x.\,x\;x)\\ Y & = & \lambda f.\,(\lambda x.\,f\;(x\;x))\; (\lambda x.\,f\;(x\;x)) \\ \end{array}$

Inoltre, tutti questi combinatori sono tipizzabili nel calcolo lambda tipizzato in modo semplice, se lo estendi con tipi ricorsivi , dove può verificarsi in modo negativo nel tipo ricorsivo. $\mu\alpha.\,A(\alpha)$ $\alpha$

Tuttavia, cosa succede se si aggiungono tipi ricorsivi completi (occorrenza negativa) al frammento di logica lineare privo di esponenziali (cioè MALL)?

Quindi non hai un esponenziale per darti contrazione. Puoi codificare il tipo di esponenziali usando qualcosa come ma non vedo come definire la regola di introduzione per esso, dal momento che sembra richiedere un combinatore a virgola fissa per definire. E stavo cercando di definire esponenziali, ottenere contrazione, ottenere un combinatore a virgola fissa! $!A$

! UN ≜ μ α . io & UN & (α \otimes α)

$!A \triangleq \mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

È il caso che MALL più tipi ricorsivi senza restrizioni stia ancora normalizzando?

lo.logic pl.programming-languages linear-logic

— Neel Krishnaswami
fonte

Ci stavo pensando solo l'altro giorno e ho passato qualche ora a giocare con alcune idee, ma non sono riuscito a trovare un modo per esprimere un valore ricorsivo né a convincermi che non fosse possibile. La mia intuizione è che non lo è! Non ho preso in considerazione la direzione opposta, se si assume la regola di introduzione per! e tipi ricorsivi, ti permette di definire un combinatore a virgola fissa?

— CA McCann

Ho sempre pensato che un

λ

$\lambda$ -term in cui ogni variabile si presenta al massimo una volta sia tipizzabile nel frammento tipizzato semplicemente. Ciò mostrerebbe che non è possibile definire un combinatore di punti fissi in cui le variabili vengano utilizzate in modo lineare.

— Andrej Bauer,

Penso che tu hai appena risposto alla domanda per MLL, ma gli additivi

A & B

$A & B$ fare permetto variabili per essere duplicati (linearità implica quindi singole ricorrenze in sequenze di riduzione, più o meno).

— Neel Krishnaswami,

Se in MALL si omettono commutazioni additive, è facile dimostrare che la dimensione di una prova diminuisce ad ogni passaggio di eliminazione del taglio. Se sono consentite commutazioni additive, la prova non è così semplice, ma è stata fornita nel documento originale "Linear Logic". Si chiama Small Normalization Teorem (Corollary 4.22, p71), che dice che finché non è coinvolta la regola di contrazione-promozione (come nel caso di MALL) vale la normalizzazione. L'argomento non si basa sulle formule stesse, potrebbero essere infinite (ad esempio definite in modo ricorsivo).

Significa che non è possibile codificare una promozione per il tipo in MALL, poiché consentirebbe combinatori di punti fissi. Per questo sarebbe necessario qualche costrutto ricorsivo aggiuntivo. $\mu\alpha.\;I \;\&\; A \;\&\; (\alpha \otimes \alpha)$

Nota: Credo che sia possibile utilizzare MALL insieme ad un principio coinduzione (introduzione di s' doppio) per mantenere la normalizzazione del sistema ed ottenere una promozione per questa codifica di . Consentire i tipi ricorsivi nella coinduzione MALL + lo renderebbe Turing completo. Ma finché MALL è considerato da solo, consentire tipi ricorsivi non è un grosso problema. $\mu$ $!A$

— Stéphane Gimenez
fonte

Si noti inoltre che il tipo suggerito è brevemente menzionato a pagina 101 (ultima pagina) del documento.

— Stéphane Gimenez,