Spanning tree minimo su tutti gli abbinamenti vertici

Ho riscontrato questo problema di corrispondenza per il quale non sono in grado di scrivere un algoritmo temporale polinomiale.

Sia grafici completi ponderati con i set di vertici e , rispettivamente, dove . Inoltre, lascia che e siano le funzioni di peso sui bordi di e , rispettivamente. $P, Q$ $P_V$ $Q_V$ $|P_V| = |Q_V|=n$ $w_P$ $w_Q$ $P$ $Q$

Per una , modifichiamo nel modo seguente: Se e con quindi impostare . Indica questo grafico modificato con e lascia che sia la somma dei pesi dell'albero di spanning minimo di . $f: P_V \to Q_V$ $Q$ $f(p) = q$ $f(p^\prime) = q^\prime$ $w_P(p, p^\prime) > w_Q(q, q^\prime)$ $w_Q(q, q^\prime) = w_P(p, p^\prime)$ $Q_f$ $W(Q_f)$ $Q_f$

Problema: ridurre a icona su tutte le . $W(Q_f)$ $f: P_V \to Q_V$

Quanto è difficile questo problema? Se "difficile": che dire degli algoritmi di approssimazione?

graph-theory optimization

— MB
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Possiamo supporre che i pesi in P e Q soddisfino separatamente la disuguaglianza del triangolo? Perché in tal caso, quindi trovare un MST in ciascuno di essi separatamente, formare un tour di Euler per trasformarlo in un percorso di commesso viaggiatore approssimativo e scegliere un abbinamento che corrisponda ai vertici nelle posizioni del percorso corrispondenti sembra che dovrebbe essere un'approssimazione di 2 al tuo problema .

— David Eppstein,

@DavidEppstein: sì, i pesi soddisfano la disuguaglianza del triangolo. La tua idea sembra interessante, grazie!

— MB

(Spostato dai commenti) Ecco un'idea per ottenere un'approssimazione di fattore costante, supponendo che P e Q soddisfino la disuguaglianza del triangolo. Ho pensato che potesse dare un'approssimazione di 2, ma tutto ciò che posso dimostrare in questo momento è un rapporto di approssimazione di 4.

(1) Nel problema come indicato, il peso del bordo nel grafico combinato (dopo aver determinato la corrispondenza - e - ) è . Invece, usiamo . Questo perde al massimo un fattore due, ma semplifica la descrizione del problema: ora stiamo cercando di trovare un albero di spanning in e un albero di spanning isomorfo in , con un peso totale minimo. La corrispondenza tra e è quindi data dall'isomorfismo tra questi due alberi. $pq$ $p$ $p'$ $q$ $q'$ $\max\{P(pq),Q(p'q')\}$ $P(pq)+Q(p'q')$ $P$ $Q$ $P$ $Q$

(2) In , trova un albero di spanning minimo e usa la tecnica del tour di Eulero che raddoppia il percorso per trovare un percorso con al massimo il doppio del peso. Fate la stessa cosa in modo indipendente in . Il risultato sono due alberi isomorfi (entrambi i percorsi) che sono separatamente al massimo il doppio del peso degli MST del loro grafico, e quindi al massimo il doppio del costo della soluzione al minimo problema di spanning tree isomorfo e quattro volte il peso del problema originale . $P$ $Q$

(3) Il problema originale è NP-completo, con una riduzione dal percorso hamiltoniano. Sia definito da un grafico in cui si desidera verificare l'esistenza di un percorso hamiltoniano; define quando è un bordo in e quando non è un bordo. Lascia che sia definito esattamente allo stesso modo da un grafico del percorso. Quindi esiste una soluzione del costo totale se e solo se il grafico da cui è stata definita ha un percorso hamiltoniano. Probabilmente questo può anche essere usato per dimostrare l'approossimabilità al di sotto di una costante fissa. $P$ $P(pq)=1$ $pq$ $P$ $2$ $pq$ $Q$ $n-1$ $P$

— David Eppstein
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Grazie, questa è una risposta eccellente. (Apparentemente, non potrò concederti la taglia nelle prossime 18 ore.)

— MB

Che ne dici di usare l' approossimation per il TSP Path - (prova ogni e ) per ottenere i due alberi (cioè i percorsi)? arxiv.org/abs/1110.4604

(1 + \sqrt{5}) / 2

$(1+\sqrt{5})/2$

s

$s$

t

$t$

s

$s$

p

$p$

— Magnus Lie Hetland

A pensarci bene, questo ti darebbe solo un rapporto per il percorso ottimale, ovviamente, non l'MST. Quindi ... non importa;)

— Magnus Lie Hetland,