Definizioni equivalenti di costruibilità temporale

Diciamo che una funzione $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ è costruibile nel tempo , se esiste una macchina di Turing multi-nastro deterministica $M$ che su tutti gli input di lunghezza $n$ fa al massimo $f(n)$ passi e per ogni $n$ esiste un input di lunghezza $n$ su cui $M$ esegue esattamente $f(n)$ passi.

Diciamo che una funzione $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ è completamente costruibile nel tempo , se esiste una macchina di Turing multi-nastro deterministica $M$ che su tutti gli input di lunghezza $n$ fa esattamente $f(n)$ passi.

Q1: esiste una funzione che è costruibile nel tempo e non completamente costruibile nel tempo?

La risposta è sì (vedi questa risposta ), se $EXP-TIME \neq NEXP-TIME$ . È possibile rafforzare la condizione per "sì" a $P\neq NP$ ? "Sì" può essere provato?

D2: La classe di funzioni (completamente) temporizzabili cambia se nella definizione consentiamo solo macchine di Turing a 2 nastri?

D3: Quali sono le ragioni "dimostrabili" per ritenere che tutte le belle funzioni siano completamente costruibili nel tempo?

L'articolo
Kojiro Kobayashi: sulla dimostrazione della costruibilità delle funzioni nel tempo. Theor. Comput. Sci. 35: 215-225 (1985)
risponde parzialmente al terzo trimestre. Il riepilogo parziale e l'aggiornamento sono in questa risposta . Prendo Q3 come risposta.

Storicamente, è stata usata la nozione di funzione numerabile in tempo reale anziché (completamente) costruibile nel tempo. Vedere questa domanda per di più.

cc.complexity-theory time-complexity terminology

— David G
fonte

Curioso: potresti indicarmi un riferimento per queste definizioni? Non ho familiarità con le funzioni costruibili, e non riesco a trovare queste definizioni in linea (non è anche ovvio per me se sono equivalenti a esempio le wikipedia quelli).

— usul

@usul Il riferimento è: JE Hopcroft, JD Ullman. Introduzione alla teoria, ai linguaggi e al calcolo degli automi. Addison-Wesley Series in Computer Science, 1979 La stessa definizione può essere trovata qui: cse.ohio-state.edu/~gurari/theory-bk/theory-bk-fivese2.html

— David G

Negli ultimi giorni ho pensato molto alle funzioni (completamente) costruibili nel tempo e presenterò ciò che ho scoperto rispondendo a Q1 e Q3. Q2 sembra troppo difficile.

Q3:

Kobayashi nel suo articolo (il riferimento è nella domanda) ha dimostrato che una funzione , per la quale esiste un st , è completamente costruibile nel tempo se lo è calcolabile in tempo . (si noti che è irrilevante se l'input o l'output è in unario / binario poiché possiamo trasformare tra queste due rappresentazioni in tempo lineare). Ciò rende le seguenti funzioni completamente costruibili nel tempo: , $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ $\epsilon>0$ $f(n)\geq (1+\epsilon)n$ $O(f(n))$ $2^n$ ,,, tutti i polinomisust... Kobayashi ha anche dimostrato la completa costruibilità temporale per alcune funzioni che crescono più lentamente di, comeper $2^{2^n}$ $n!$ $n\lfloor \log n \rfloor$ $p$ $\mathbb{N}$ $p(n)\geq (1+\epsilon)n$ $(1+\epsilon)n$ $n+\lfloor\lfloor\log n\rfloor^q\rfloor$ $q\in\mathbb{Q}^+$ ...

Per continuare con esempi di funzioni completamente costruibili nel tempo, si può dimostrare che se e sono completamente costruibili nel tempo, allora , $f_1$ $f_2$ $f_1+f_2$ , e $f_1f_2$ $f_1^{f_2}$ $f_1\circ f_2$ sono anche completamente costruibile nel tempo (il seguito segue direttamente dal Teorema 3.1 di Kobayashi). Questo mi convince del tutto che molte belle funzioni sono davvero completamente costruibili nel tempo.

È sorprendente che Kobayashi non abbia visto un modo per dimostrare completamente la costruibilità nel tempo della (bella) funzione $\lfloor n\log n\rfloor$ (e nemmeno io).

Commentiamo anche la definizione dell'articolo di Wikipedia : Una funzione è costruibile nel tempo, se esiste una macchina di Turing che, data una stringa , genera in $f$ $M$ $1^n$ $f(n)$ tempo. $O(f(n))$ Vediamo che questa definizione è equivalente alla nostra definizione di costruibilità completa nel tempo per le funzioni . $f(n)\geq (1+\epsilon)n$

Q1:

Questa domanda ha una risposta davvero interessante. Sostengo che se tutte le funzioni orarie costruibile sono completamente tempo-costruibile, quindi . Per dimostrarlo, prendiamo un problema arbitrario può essere risolto da un NDTM in passi. Possiamo presumere che ad ogni passo $EXP-TIME=NEXP-TIME$ , . Quindi esiste un , st $L\in NEXP-TIME$ $L\subseteq\{0,1\}^*$ $k\in\mathbb{N}$ $L$ $M$ $2^{n^k-1}$ $M$ entri al massimo in due diversi stati per semplicità. Ora definisci la funzione

f (n) = {\begin{cases} 8 n + 2 & if (first ⌊ \sqrt[k]{⌊ \log n ⌋ + 1} ⌋ bits of b i n (n)) \in L \\ 8 n + 1 & else \end{cases}

$f(n)=\left\{\begin{array}{ll} 8n+2 & \mbox{if }\left(\mbox{first } \lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\mbox{ bits of } bin(n)\right)\in L\\ 8n+1 & \mbox{else} \end{array} \right.$

Sostengo che sia costruibile nel tempo. Considerare la seguente Turing deterministica : $f$ $T$

sull'ingresso di lunghezza calcola $w$ $n$ atempo $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $O(n)$
quindi simula su questi bit, in cui i bit di determinano quali scelte (precedentemente non deterministiche) prendere. $M$ $w$
accetta iff . $\left(M\textrm{ accepts using choices given by }w\right)$

Si noti che la lunghezza di ( ) è sufficiente per determinare tutte le scelte non deterministiche, poiché sull'input $w$ $=n$ $M$ esegue al massimopassaggi. $\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$ $n$

Possiamo far funzionare al massimo passaggi. Ora la seguente macchina di Turing dimostra che è costruibile nel tempo: $T$ $8n+1$ $f$

sull'ingresso di lunghezza eseguire e contare i passi in parallelo in modo da eseguire esattamente passi. $w$ $n$ $T$ $8n$
se rifiutato o rifiuta nel passaggio successivo, passa a uno stato di arresto nel passaggio successivo. Altrimenti, fai un altro passo e poi vai in uno stato di arresto. $T$

Supponiamo ora che sia completamente costruibile nel tempo. Noi dimostreremo che questo porta a . $f$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

Il seguente algoritmo risolve : $L$

sull'input , sia il numero con rappresentazione binaria ( zeri). Ne segue che $x$ $n$ $x00\ldots 0$ $|x|^{k-1}$ . $x=\left(\textrm{first }\lfloor\sqrt[k]{\lfloor\log n\rfloor+1}\rfloor\textrm{ bits of }bin(n)\right)$
calcola nel tempo e controlla se è divisibile per 2. $f(n)$ $f(n)$

Questo algoritmo viene eseguito in tempo esponenziale e risolve . Poiché arbitraria, . $L$ $L\in NEXP-TIME$ $EXP-TIME=NEXP-TIME$

— David G
fonte

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— Emil Jeřábek 3.0

Un'idea molto simile a quella presentata nella risposta alla domanda Q1 è anche usata qui .

— David G