Combinatori per le funzioni ricorsive primitive

È noto che i combinatori S e K sono Turing Complete. Ci sono combinatori che sono sufficienti per produrre (solo) le funzioni ricorsive primitive?

lo.logic computability

— NietzscheanAI
fonte

È questo che stai chiedendo? mathoverflow.net/questions/48006/…

— Andrej Bauer

Sì, ma devi considerare combinatori tipizzati. Cioè, devi dare a e i seguenti schemi di tipi: dove e $S$ $K$

\begin{array}{lcl} K & : & UN \to B \to UN \\ S & : & (UN \to B \to C) \to (UN \to B) \to (UN \to C) \end{array}

$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$

A, B

$A, B$

C

$C$ sono meta-variabili che possono essere istanziate su qualsiasi tipo concreto ad ogni utilizzo.

Quindi, si desidera aggiungere il tipo di numeri naturali alla lingua dei tipi e aggiungere i seguenti combinatori: $\mathbb{N}$

\begin{array}{lcl} z & : & N \\ S u c c & : & N \to N \\ io t e r & : & N \to (N \to N) \to N \to N \end{array}

$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$

Le regole di uguaglianza per le aggiunte sono:

\begin{array}{lcl} io t e r io f z & = & io \\ io t e r io f (S u c c e) & = & f (io t e r io f e) \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$

\begin{array}{lcl} io t e r & : & UN \to (UN \to UN) \to N \to UN \end{array}

$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$

i t e r

$iter$

$\mathit{iter}$

\begin{array}{lcl} p r e d^{'} & = & λ K . io t e r (z, z) (λ (n, n^{'}) . (S u c c n, n)) K \\ p r e d & = & λ K . S n d (p r e d^{'} K) \end{array}

$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$

— Neel Krishnaswami
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Quindi questo è inferiore a quello di Turing in virtù della restrizione ai combinatori tipizzati? Le variabili di tipo (ricorsivamente) possono indicare funzioni su variabili di tipo (ad es. A = D -> E per alcuni tipi D ed E)?

— Nietzschean

S

$S$

K

$K$

Neel, grazie. Avrei ragione nel pensare che è possibile rappresentare z, succ e iter in termini di S e K tramite la codifica numerica della Chiesa?

— Nietzschean

0 \mapsto 0

$0\mapsto 0$

(s u c c x) \mapsto x

$(succ x)\mapsto x$

@Xoff: la funzione precedente ha una ben nota definizione di tempo lineare in termini di iter. Questo potrebbe essere l'oggetto di una domanda su cs.stackexchange.com ...

— cody