Conseguenze di

Mentre il teorema di Adleman mostra che , non sono a conoscenza di alcuna letteratura che indaga sulla possibile inclusione di . Quali conseguenze teoriche della complessità avrebbe una tale inclusione? $\mathsf{BPP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$ $\mathsf{BQP} \subseteq \mathsf{P}/\text{poly}$

Il teorema di Adleman è talvolta chiamato "il progenitore degli argomenti di derandomizzazione". sia derandomizzabile, mentre non ci sono prove che la "quantumness" di possa in qualche modo essere rimossa. È questa possibile prova che è improbabile che sia in ? $\mathsf{BPP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{BQP}$ $\mathsf{P}/\text{poly}$

— Martin Schwarz
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Direi che non abbiamo buoni motivi per pensare che BQP sia in P / poly. Abbiamo ragioni per pensare che BQP non sia in P / poli, ma sono più o meno identici ai nostri motivi per pensare che BQP ≠ BPP. Ad esempio, se BQP⊂P / poly, Factoring è in P / poly, il che è sufficiente per interrompere molta crittografia in base alle definizioni di sicurezza standard.

Inoltre, come hai giustamente sottolineato, non esiste un analogo quantico del trucco di Adleman --- in effetti, non c'è modo di "estrarre la quantita 'da un algoritmo quantico", analogo a come si può estrarre la casualità da un algoritmo randomizzato. Quindi non credo che qualcuno abbia un'ipotesi su cosa dovrebbe consistere il consiglio P / poly per la simulazione di un computer quantistico (non più di quanto abbiano un'ipotesi, diciamo, nel caso di NP vs. P / poly).

Un'ultima nota: il mio lavoro con Alex Arkhipov (e il lavoro indipendente di Bremner-Jozsa-Shepherd), può essere facilmente adattato per mostrare che se QUANTUM-SAMPLING è in P / poly (OK, in "BPP-SAMPLING / poly") , quindi P ^#P ⊂BPP ^NP / poly, e quindi la gerarchia polinomiale collassa --- in questo caso, penso, al quarto livello. Al momento, tuttavia, non sappiamo come adattare questo tipo di risultato da problemi di campionamento a problemi di decisione.

— Scott Aaronson
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Grazie mille per aver risposto, Scott! Una cosa mi chiedo: quali sono i risultati noti relativi a P ^ # P con livelli di PH / poli? Cosa si sa effettivamente su P ^ # P vs. PH / poly? (es. esiste una versione non uniforme del teorema di Toda?). Perché P ^ # P in PH / poly comprimerebbe PH / poly, se non conosciamo PH / poly in P ^ # P? O cosa mi sto perdendo?

— Martin Schwarz,

Ciò che si deve fare qui è generalizzare la dimostrazione del teorema di Karp-Lipton. Come primo passo, non è difficile dimostrare (usando il ragionamento in stile KL) che se coNP è in NP / poly, PH crolla al 3 ° livello. Ma allora ciò dovrebbe relativizzarsi, per mostrare che se coNP ^ NP ^ NP è in NP ^ NP ^ NP / poli, allora il PH crolla al 5 ° livello. E certamente P ^ # P in BPP ^ NP / poly implica coNP ^ NP ^ NP è in NP ^ NP ^ NP / poly. Ma hmm, sto solo subendo un crollo al 5 ° livello qui! Supponendo che questo sia corretto, qualcuno può migliorarlo fino a un collasso di 4 ° livello? (In caso contrario, è il "più alto" crollo del PH che abbia mai visto! :))

— Scott Aaronson,

B P P \subseteq P / p o l y

$\mathrm{BPP}\subseteq\mathrm P/\mathrm{poly}$

{B P P}^{N P} / p o l y = P^{N P} / p o l y

$\mathrm{BPP}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}=\mathrm{P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{2}^{P} \subseteq {(B P) P}^{N P} / p o l y

$\Sigma^P_2\subseteq\mathrm{(BP)P}^\mathrm{NP}/\mathrm{poly}$

Σ_{3}^{P} = Π_{3}^{P}

$\Sigma^P_3=\Pi^P_3$

S_{3}^{P} \subseteq Z P P^{N P^{N P}} \subseteq Σ_{3}^{P} \cap Π_{3}^{P}

$S^P_3\subseteq\mathrm{ZPP^{NP^{NP}}}\subseteq\Sigma^P_3\cap\Pi^P_3$

S^{P}

$S^P$