Giochi di Ehrenfeucht-Fraïssé (Ajtai-Fagin in effetti) per le lingue regolari.

Immerman (Descriptive Complexity, 1999) presenta i giochi EF per il secondo ordine monadico esistenziale (giochi Ajtai-Fagin) a pagina 127. Poiché MSO sulle parole è equivalente alle lingue normali, il gioco può essere scritto come segue. $\exists$

Una lingua è regolare se e solo se Delilah non ha una strategia vincente nel seguente gioco: 1. Sansone sceglie , 2. Delilah sceglie , 3. Sansone sceglie sottoinsiemi dell'insieme di posizioni in (ovvero ), 4. Delilah chosses e sottoinsiemi del set di posizioni in , 5. Samson e Delilah giocano il gioco EF- su $L \subseteq \{a, b\}^*$
$c, m \in \mathbb{N}$
$w \in L$
$c$ $C_1^w, \ldots, C_c^w$ $w$ $\{0, \ldots, |w|-1\}$
$v \not\in L$ $c$ $C_1^v, \ldots, C_c^v$ $v$
$m$ $(\mathfrak{S}(w), C_1^w, \ldots, C_c^w)$ e , dove è la struttura associata alla parola , ovvero: con e è il predicato binario successore. $(\mathfrak{S}(v), C_1^v, \ldots, C_c^v)$
$\mathfrak{S}(w)$ $w$

S (w) = ⟨ {0, \dots, | w | - 1}, S U C C, Q_{a}, Q_{b} ⟩

$\mathfrak{S}(w) = \langle \{0, \ldots, |w|-1\}, SUCC, Q_a, Q_b \rangle$

Q_{l} = {p | w_{p} = l}

$Q_l = \{p \;|\; w_p = l\}$

S U C C

$SUCC$

Ho due domande:
- Come si mostra che non è regolare, usando un argomento EF come questo, - È più facile / difficile giocare a quei giochi (per mostrare non regolarità) quando si ha un ordine piuttosto che la relazione successiva? (Quelli sono equivalenti in MSO esistenziali). $\{a^nb^n \;|\; n \in \mathbb{N}\}$

lo.logic automata-theory descriptive-complexity

— Michaël Cadilhac
fonte

Daremo una strategia vincente per Delilah. Lascia che Sansone scelga la sua e . Quindi Dalila sceglie per una grande da determinare in seguito. Lascia che Sansone scelga i suoi sottoinsiemi che consideriamo come una colorazione delle posizioni di con colori. Let denotare questa parola colorato. L'obiettivo di Delilah a questo punto è trovare un segmento of con le seguenti proprietà per una e una da scegliere in seguito: $c$ $m$ $w = a^n b^n$ $n$ $C^w_1,\ldots,C^w_c$ $w$ $2^c$ $w'$ $w'[i,\ldots,j]$ $w'$ $r$ $t$

$0 \leq i \leq j \leq n$ (quindi il segmento appartiene alla prima parte di ), $w'$
le -neighborhoods (quartieri di raggio ) di e in sono isomorfi, $r$ $r$ $i$ $j$ $w'$
per ogni , il quartiere di in appare come quartiere di almeno altre posizioni di . $k \in [i,\ldots,j]$ $r$ $k$ $w'$ $r$ $t$ $w'$

Se riesce a farlo, sceglierà la sua parola colorata come Se è la parola sottostante , ne consegue che non appartiene a (perché abbiamo pompato un segmento non vuoto di ) e Delilah ha una strategia vincente in - attiva il gioco EF su e (questo segue dal Teorema di Hanf se e sono sufficientemente grandi rispetto a e

v^{'} = w^{'} [0, \dots, i - 1] w^{'} [i, \dots, j]^{2} w^{'} [j + 1, \dots, 2 n - 1] .

$v' = w'[0,\ldots,i-1] w'[i,\ldots,j]^2 w'[j+1,\ldots,2n-1].$

v

$v$

a, b

${a,b}$

v^{'}

$v'$

v

$v$

L

$L$

a

$a$

m

$m$

w^{'}

$w'$

v^{'}

$v'$

r

$r$

t

$t$

c

$c$

m

$m$ ; vedi Teorema 1.4.1 nel libro Ebinghaus e Flum "Finite Model Theory").

Pertanto, resta da dimostrare che se è sufficientemente grande rispetto a , , e possiamo trovare un segmento come sopra. Ma ciò deriva da una discussione standard sul buco del piccione usando il fatto che il numero di tipi di ismorfismi dei quartieri è limitato. $n$ $c$ $m$ $r$ $t$ $w'[i,\ldots,j]$ $r$

Questo ha funzionato per le strutture successive. Con un ordine lineare sarà un po 'più difficile ma non ci ho pensato molto.

Si noti che, non sorprendentemente, questo argomento assomiglia un po 'a "pompare" l'argomento negli automi. Tuttavia, non è così sciocco come semplicemente tradurre la formula in un automa. Penso che contenga come argomento teorico-modello.

— slimton
fonte

La mia risposta non ti convince?

— slimton,

Oops, scusa, certo che lo fa. Anche se sarei davvero interessato a vedere cosa sarebbe con un ordine lineare (e quindi senza la località di Hanf). Grazie per quella risposta!

— Michaël Cadilhac,