Quali sono le complessità dei seguenti sottoinsiemi SAT?

Supponiamo $P \neq NP$

Usiamo la seguente notazione per la tetrazione (es. ). ${}^ia$ ${}^ia = \underbrace{a^{a^{\cdot^{\cdot^{\cdot^{a}}}}}}_{i \mbox{ times}}$

| X | è la dimensione dell'istanza x.

Sia L una lingua, $L|_{f(i)\leq |x| < g(i)} := \{ x \in L \mbox{ | } \exists i \in \mathbb{N}\mbox{, } f(i) \leq |x| < g(i) \}$

Qual è la complessità delle seguenti lingue:

$L_1 = SAT|_{{}^{2i}2 \leq |x| < {}^{2i+1}2}$ $L_2 = SAT|_{{}^{2i+1}2 \leq |x| < {}^{2i+2}2}$

Come , non possono essere entrambi in P supponendo che . Dato che entrambi hanno buchi esponenziali, non penso che SAT possa essere ridotto a uno. $L_1 \sqcup L_2 = SAT$ $P \neq NP$

Quindi l'intuizione sarebbe che sono entrambi in NPI, ma non riesco a trovare una prova o una confutazione.

Altre due lingue sono $L_3 = SAT|_{|x|={}^{2i+1}2}$ $L_4 = SAT|_{|x|={}^{2i}2}$

Se uno di entrambi è in NPC, l'altro è in P perché per ogni istanza di uno, non può essere trasformato in un'istanza maggiore dell'altro perché ha dimensioni esponenziali e le istanze più piccole hanno una dimensione logaritmica. Sempre per intuizione, non vi è alcun motivo per cui avrebbero una diversa complessità. Quale sarebbe la loro complessità?

La prova di Ladner dei problemi NPI in base all'assunzione di usa linguaggi come o , ma e non sono costruiti dalla diagonalizzazione. $P \neq NP$ $L_1$ $L_2$ $L_1$ $L_2$

cc.complexity-theory np-hardness complexity-classes

— Ludovic Patey
fonte

Le tue lingue hanno molti casi riempiti con l'aggiunta di clausole extra che non interagiscono tra loro. Sembrano quindi NPI dall'argomento di diagonalizzazione di Schöning? dx.doi.org/10.1016/0304-3975(82)90114-1

— András Salamon,

Dopo "non possono essere entrambi in P", dovrebbe dire "supponendo che P NP ..."

\neq

$\ne$

— Emil,

Ho aggiunto "sotto il presupposto" anche se ho già impostato questo presupposto prima.

— Ludovic Patey,

Se L1 o L2 sono NP-completi, allora la congettura dell'isomorfismo fallisce, dal momento che né L1 né L2 sono un cilindro (ha una funzione di riempimento). Quindi provare che uno di essi è NP-completo richiede tecniche non relativizzanti. Non vedo ancora alcuna barriera nel mostrare che uno di loro non è NP completo.

— Joshua Grochow,

Potrei essere stato un po 'poco chiaro con i miei quantificatori. Consentitemi di aggiungere parentesi: non esiste una macchina dell'oracolo polifunzionale tale che [per tutti [ risolve ]]. Che è, per qualsiasi , può essere che per un po 'di X, risolve una delle lingue, ma non può essere vero per tutti . Quindi, ad esempio, senza l'oracolo potrebbe risolvere (non relativizzato), ma qualunque sia , ci sarà un oracolo tale da non risolvere nessuna delle due lingue.

M

$M$

X

$X$

M^{X}

$M^X$

L_{1}^{X} o r L_{2}^{X}

$L_1^X or L_2^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

X

$X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

M

$M$

— Joshua Grochow,

Penso che entrambi siano NPI sotto l'ipotesi più forte (ma ovviamente vero) che NP non è in "infinitamente spesso P" - cioè, ogni algoritmo del tempo polinomiale A e ogni n sufficientemente grande, A non riesce a risolvere SAT su input di lunghezza n.

In questo caso, tali lingue non sono in P, ma non possono neppure essere NP complete, poiché altrimenti una riduzione da SAT a una lingua L con buchi di grandi dimensioni fornirà un algoritmo per SAT che riesce su questi buchi.

Tale presupposto è anche necessario, poiché altrimenti le lingue possono essere in P, o NP-complete, a seconda di dove si trovano le "lunghezze di input facili".

— Boaz Barak
fonte

@ Booaz: In un certo senso capisco cosa intendi per "un presupposto del genere è necessario", ma ho problemi a formalizzare la necessità. Penso che uno costruisca un oracolo , senza troppe difficoltà, tale che , esiste una macchina poli-tempo tale che decide su infinitamente lunghezze di input, eppure e sono intermedi.

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

M

$M$

M^{X}

$M^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

L_{2}^{X}

$L_2^X$

N P^{X}

$NP^X$

— Joshua Grochow,

Ciò che intendevo dire è che l'ipotesi non è di per sé sufficiente a mostrare che queste lingue sono NP-intermedie, dal momento che non possiamo escludere il caso ma esiste un algoritmo che risolve SAT esattamente sugli input che non è banale, nel qual caso sarebbe in e sarebbe NPC.

N P \neq P

$NP\neq P$

N P \neq P

$NP\neq P$

L_{1}

$L_1$

L_{1}

$L_1$

P

$P$

L_{2}

$L_2$

— Boaz Barak,

@Boaz: Ah certo. Una formalizzazione di questo è un oracolo tale che ma (che credo, simile all'altro oracolo che ho citato, non è troppo difficile da costruire). (PS - Usando @name, assicura che l'altro utente sia informato del tuo commento.)

X

$X$

P^{X} \neq N P^{X}

$P^X \neq NP^X$

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X \in P$

— Joshua Grochow

@Joshua: Se che sia una macchina Poly-time per , allora risolverà anche poiché il caso senza query su Oracle è solo un caso speciale. Quindi, se riesci a creare una mentre la descrivi, provi che quindi non capisco davvero come potresti farlo.

L_{1}^{X} \in P

$L_1^X\in P$

M

$M$

L_{1}^{X}

$L_1^X$

M

$M$

L_{1}

$L_1$

X

$X$

P_{1} \in P

$P_1\in P$

— Arthur MILCHIOR,

@Joshua: a proposito del tuo primo commento sotto Boaz Barak, se risolve (su infinite lunghezze di input) allora immagino che tu voglia almeno che la tua sia un oracolo per . Ma dal momento che si può avere query per nella formula #, poi in realtà si è nemmeno necessario di essere un oracolo per . Come puoi dimostrare che una definizione così ricorsiva è corretta? Non mi sembra affatto chiaro. (# Immagino che SAT ^ X sia SAT dove X può essere anche nelle clausole)

M \in P^{X}

$M\in P^X$

S A T^{X}

$SAT^X$

X

$X$

S A T

$SAT$

X

$X$

X

$X$

S A T^{X}

$SAT^X$

— Arthur MILCHIOR