Trasformazione radiante di Walsh-Hadamard

La trasformata di Walsh-Hadamard (WHT) è una generalizzazione della trasformata di Fourier ed è una trasformazione ortogonale su un vettore di numeri reali o complessi di dimensione . La trasformazione è popolare nel calcolo quantistico, ma è stata recentemente studiata come una sorta di precondizionatore per le proiezioni casuali di vettori ad alta dimensione da utilizzare nella dimostrazione del Lemma di Johnson-Lindenstrauss. La sua caratteristica principale è che sebbene sia una matrice quadrata , può essere applicata a un vettore nel tempo (piuttosto che ) con un metodo simile a FFT. $d = 2^m$ $d\times d$ $O(d \log d)$ $d^2$

Supponiamo che il vettore di input sia scarso : ha solo poche voci diverse da zero (diciamo ). Esiste un modo per calcolare il WHT nel tempo tale che e per ? $r \ll d$ $f(r,d)$ $f(d,d) = O(d \log d)$ $f(r,d) = o(d \log d)$ $r = o(d)$

Nota: questi requisiti sono semplicemente un modo per formalizzare l'idea che mi piacerebbe qualcosa che corre più veloce di per la piccola . $d \log d$ $r$

ds.algorithms linear-algebra

— Suresh Venkat
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Sono sicuro che sei a conoscenza delle seguenti due facili osservazioni, ma comunque le scriverò per gli altri lettori: (1) Una semplice moltiplicazione dà O (r) tempo. È meglio di O (d log d) solo quando r = o (log d). (2) Anche se il vettore di input è scarso, in generale l'output non è scarso. Ciò significa che non possiamo sperare che f (r, d) sia o (d) anche per r = 1.

— Tsuyoshi Ito,

Sai qual è la risposta per la stessa domanda per la trasformata di Fourier?

— Robin Kothari,

Tsuyoshi: sì, sono a conoscenza di (1) e questo è in effetti ciò che viene fatto per le applicazioni che ne hanno bisogno. quanto a (2) anche questo è vero. Robin, questo è un buon punto - non so nulla per l'FT, e in effetti potrebbe essere un buon posto per iniziare a scavare.

— Suresh Venkat,

Si scopre che avrei dovuto scavare su Wikipedia. la pagina FFT menziona due articoli che potrebbero essere correlati al problema di calcolo sparse.

— Suresh Venkat,

Indicizza le righe WHT di un numero intero x, per . Quindi x ha i bit di log d. Allo stesso modo, indicizza le colonne. Il (, x y) è dove l'esponente è il prodotto scalare di log lunghezza d. Supponiamo che r sia una potenza di 2, arrotondando se necessario. Suddividere la matrice dxr in blocchi rxr lasciando variare i primi bit di registro r e fissando gli altri bit di registro (d / r) in ciascuno dei modi d / r. Questo blocco rxr è una matrice WHT più piccola di dimensione r, tranne per il fatto che potrebbero mancare alcune colonne mancanti, ripetute o negate. In ogni caso, preelaborare facilmente il vettore, quindi eseguire un rxr WHT in time r log r, quindi ripetere d / r volte per il tempo totale d log r. $0 \le x \lt d$ $(-1)^{\langle x,y \rangle}$

Esempio:

d = 4.

WHT H è

++++
+-+-
++--
+--+

L'insieme arbitrario di colonne è 00 e 10 (all'estrema sinistra e due sopra da quello):

++
++
+-
+-

I blocchi di riga sono

++
++

--
--

$(a,b)^T$ $(a+b,0)^T$

++
+-

$(a,b)^T$ $(-a-b,0)^T$

++
+-

— Martin Strauss
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