Problemi NP-difficili sui grafici di espansione?

In una presentazione del 2006 intitolata EXPANDER GRAPHS - CI SONO ANCORA MISTERI? , Nati Linial ha posto il seguente problema aperto:

Quale computazionale -hard sul grafico rimane difficile se limitato ai grafici di espansione? $NP$

Da allora, sono stati compiuti progressi per dimostrare tale risultato per un -hard? $NP$

cc.complexity-theory np-hardness expanders

— Mohammad Al-Turkistany
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Qualcuno potrebbe forse spiegare perché questa domanda è interessante? Abbiamo qualche esempio di problemi NP-difficili che diventano facili se limitati ai grafici di espansione?

— Jukka Suomela,

@Jukka: gli espansori possono essere regolati per piccole (es. ), ma alcuni problemi NP-difficili sono facili sulla classe di massimo grado

d

$d$

d

$d$

d = 3

$d=3$

d

$d$ grafici per piccoli

d

$d$ (es. GRAPH COLORING per

d < 4

$d<4$ ).

— András Salamon,

@ András: Certo, ma non è molto legato alle proprietà di espansione. Consentitemi di riformulare: abbiamo esempi di problemi che sono difficili sui grafici

d

$d$ -regular ma facili sui grafici expander

d

$d$ -regular?

— Jukka Suomela,

@Jukka: I giochi unici hanno mostrato algoritmi di approssimazione temporale polinomiale quando il grafico dei vincoli è un espansore [Arora-Khot-Kolla-Steurer-Tulsiani-Vishnoi STOC '08]. Questo non è noto per i grafici generali, e se l'UGC fosse vero, in realtà non ci sono algoritmi temporali polinomiali. Ho preso questa come motivazione per la domanda del turco.

— Arnab,

@Jukka, la mia motivazione è capire la relazione tra le proprietà casuali degli espansori e la durezza computazionale dei problemi. Ad esempio, non mi aspetto che un set indipendente sia facile per gli espansori.

— Mohammad Al-Turkistany,

Risposte:

Se gli "espansori sbilanciati" contano come espansori ai fini di questa domanda (un espansore sbilanciato: un grafico bipartito , tale che per ogni sottoinsieme , , la frazione di i bordi tra e sono circa $G=(A,B,E)$ $A'\subseteq A$ $B'\subseteq B$ $A'$ $B'$ ${|A'||B'|}/{|A||B|}$ ), quindi sì, molti problemi sugli espansori (ad es. problemi di soddisfazione dei vincoli) sono NP-difficili da approssimare.

In particolare, la prova del teorema PCP [con Ran Raz nel 2008] a due query, a basso errore, costruisce grafici di espansione.

— Dana Moshkovitz
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Nell'ultima riga, vuoi dire che il tuo documento costruisce espansori sbilanciati, perché allora potresti avere una risposta a questa domanda: cstheory.stackexchange.com/questions/592/…

— Suresh Venkat

Suresh: sì, la carta costruisce espansori / campionatori / estrattori sbilanciati, ma non meglio delle costruzioni conosciute di tali.

— Dana Moshkovitz,

Immagino che possa essere facile dimostrare che molti problemi esatti (e forse anche forti problemi di approssimazione) sono NP-difficili per gli espansori. L'idea è che se si prende un grafico di gradi costanti arbitrari su vertici e si aggiunge un altro espansore su vertici disgiunti e si mette una corrispondenza tra e , si ottiene un espansore. Il motivo è che qualsiasi insieme di meno della metà dei vertici avrà o una frazione costante dei bordi corrispondenti al di fuori di esso, o la sua intersezione con avrà al massimo dire frazione dei vertici di $G$ $n$ $H$ $n$ $G$ $H$ $H$ $0.51$ $H$

Dato che puoi scegliere arbitrario (diciamo prendere un grafico casuale) puoi conoscere la soluzione ottimale per il tuo problema NP in , e quindi ci possono essere speranze (a seconda del problema), che data una soluzione per il grafico combinato puoi ottenere almeno una soluzione approssimata per . Ma non ho verificato questo per nessun problema concreto. $H$ $H$ $G$

Naturalmente, come menzionato sopra, ci sono problemi naturali (in particolare giochi unici) in cui non si possono fare questi trucchi e in particolare gli algoritmi sono noti per gli espansori e non noti nel caso generale. Si dovrebbe anche essere in grado di trovare alcuni esempi inventati di un problema che NP è difficile in generale ma facile con gli espansori (ad esempio, prendere qualche problema NP arbitrario sui grafici e modificarlo in modo che tutte le istanze con gap spettrale siano più di è SÌ ...). $1/\log n$

— Boaz Barak
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