Quando è difficile contare contando?

Supponiamo di rilassare il problema del conteggio dei coloranti corretti contando i coloranti ponderati come segue: ogni colorazione corretta prende peso 1 e ogni colorazione impropria prende peso dove è una costante e è il numero di bordi con punti finali colorati allo stesso modo. Se va a 0, questo si riduce al conteggio dei coloranti corretti, cosa difficile per molti grafici. Quando c è 1, ogni colorazione ha lo stesso peso e il problema è banale. Quando la matrice di adiacenza del grafico moltiplicata per ha un raggio spettrale inferiore a c v c - log ( c ) / 2 1 - $c^v$$c$$v$$c$$-\log(c)/2$$1-\epsilon$, questa somma può essere approssimata dalla propagazione delle credenze con la garanzia di convergenza, quindi è facile nella pratica. È anche facile in teoria perché un particolare albero di calcolo mostra il decadimento delle correlazioni e quindi consente un algoritmo temporale polinomiale per l'approssimazione garantita - Tetali, (2007)

La mia domanda è: quali altre proprietà del grafico rendono questo problema difficile per gli algoritmi locali? Difficile, nel senso che solo una piccola gamma di può essere indirizzata.$c$

Modifica 23/09/09 : Finora mi sono imbattuto in due algoritmi deterministici di approssimazione polinomiale per questa classe di problemi (derivati ​​del documento di Weitz STOC2006 e dell'approccio di "espansione della cavità" di Gamarnik al conteggio approssimativo), ed entrambi gli approcci dipendono dal fattore di ramificazione dell'auto- evitando passeggiate sul grafico. Il raggio spettrale emerge perché è un limite superiore a questo fattore di ramificazione. La domanda è quindi: è una buona stima? Potremmo avere una sequenza di grafici in cui il fattore di ramificazione delle camminate che si auto-evitano è limitato, mentre il fattore di ramificazione delle passeggiate regolari cresce senza limiti?

Modifica 10/06 : Questo articolo di Allan Sly (FOCS 2010) sembra rilevante ... il risultato suggerisce che il fattore di ramificazione di un albero infinito di passeggiate che si auto-elimina cattura esattamente il punto in cui il conteggio diventa difficile.

Modifica 31/10 : congetture di Alan Sokal ( p.42 di "La polivomia multivariata" ) secondo la quale esiste un limite superiore sul raggio della regione libera da zero del polinomio cromatico che è lineare in termini di flusso massimo (flusso massimo st tutte le coppie s, t). Ciò sembra rilevante perché le correlazioni a lungo raggio appaiono quando il numero di coloranti appropriati si avvicina a 0.

Questo è difficile per i grafici planari, almeno per sei colori o più. Vedi "Inapprossimabilità del polinomio Tutte di un grafico planare" di Goldberg e Jerrum

Alcuni altri commenti:

Un algoritmo locale per il conteggio calcolerà il conteggio da un insieme di statistiche per nodo in cui ciascuna statistica è una funzione di un grafico vicino al nodo. Per i coloranti, tali statistiche sono correlate alla "probabilità marginale di incontrare il colore c". Ecco un esempio di questa riduzione per un semplice grafico.

Dal recente articolo di Alan Sly risulta che contare i set indipendenti usando un algoritmo locale è difficile come contare i set indipendenti usando qualsiasi algoritmo. Il mio sospetto è vero per il conteggio generale dei grafici.

Per gli algoritmi locali, la durezza dipende da come si comporta la correlazione tra i nodi rispetto alla distanza tra i nodi. Per distanze sufficientemente grandi, questa correlazione ha essenzialmente solo due comportamenti: la correlazione decade in modo esponenziale nella distanza del grafico o non decade affatto.

Se c'è un decadimento esponenziale, le statistiche locali dipendono da un quartiere le cui dimensioni sono polinomiali nelle dimensioni del grafico, quindi il problema del conteggio è semplice.

Nei modelli di fisica statistica è stato notato (ad esempio, de Gennes, Emery) che esiste una connessione tra passeggiate che si auto-evitano, decadimento della correlazione e transizioni di fase. Il punto in cui la funzione generatrice di auto-evitamento su una grata diventa infinita corrisponde alla temperatura alla quale compaiono le correlazioni a lungo raggio nel modello.

Dalla costruzione dell'albero a piedi auto-evitantesi di Weitz si può vedere perché le passeggiate auto-evitanti emergono nel decadimento della correlazione - il marginale può essere rappresentato esattamente come una radice di un albero di passeggiate auto-evitanti, quindi se il fattore di ramificazione di questo albero è abbastanza piccolo, le foglie dell'albero diventano irrilevanti alla fine.

Se la "durezza locale" implica la durezza, è sufficiente quantificare le proprietà che determinano il tasso di crescita delle passeggiate che si auto-evitano. Il tasso di crescita esatto può essere estratto dalla funzione di generazione per le passeggiate che si auto-evitano, ma è intrattabile da calcolare. Il raggio spettrale è facile da calcolare e fornisce un limite inferiore.

Alcuni commenti: non una risposta.

$c$$c$$c \in [0,\epsilon)$$\epsilon > 0$$c$$c$

$c$

Stai chiedendo proprietà strutturali della classe di grafici che permetterebbero al problema di rimanere duro. Per quanto ne so, sarà difficile quasi sempre. Ma questo è molto approssimativo e ha bisogno di più lavoro.