Quanti tagli di bordi disgiunti deve avere un DAG?

La seguente questione è legata alla ottimalità del Bellman-Ford - t più breve algoritmo di programmazione percorso dinamico (vedi questo post per una connessione). Inoltre, una risposta positiva implicherebbe che la dimensione minima di un programma di ramificazione non deterministica monotona per il problema STCONN è Θ ( n 3 ) . $s$$t$$\Theta(n^3)$

Lasciate sia un DAG (grafo aciclico diretto) con un nodo sorgente s ed una porta nodo t . A k - taglio è un insieme di archi, la cui rimozione distrugge tutti s - t percorsi di lunghezza ≥ k ; assumiamo che ci sono tali percorsi in G . Si noti che non è necessario distruggere percorsi S - T più brevi .$G$$s$$t$$k$$s$$t$$\geq k$$G$$s$$t$

Domanda: fa deve avere almeno (circa) k disgiunti k -cuts? $G$$k$ $k$

Se non ci sono percorsi - t più brevi di k , la risposta è SÌ, perché abbiamo il seguente fatto min-max noto (un doppio del teorema di Menger ) attribuito a Robacker ^∗ . Un taglio s - t è un taglio k per k = 1 (distrugge tutti i percorsi s - t ).$s$$t$$k$^$\ast$$s$$t$$k$$k=1$ $s$$t$

Fatto: in qualsiasi grafico diretto, il numero massimo di tagli - t con bordi disgiunti è uguale alla lunghezza minima di un percorso s - t . $s$$t$$s$$t$

Si noti che ciò vale anche se il grafico non è aciclico.

Dimostrazione: in sostanza, il minimo è almeno il massimo, poiché ogni percorso - t interseca ogni taglio s - t in un bordo. Per vedere l'uguaglianza, sia d ( u ) la lunghezza di un percorso più breve da s a u . Sia U r = { u : d ( u ) = r } , per r = 1 , … , d ( t ) , e sia E $s$$t$$s$$t$$d(u)$$s$$u$$U_r=\{u\colon d(u)=r\}$$r = 1,\ldots, d(t)$$E_r$essere l'insieme dei bordi che lasciano . E 'chiaro che gli insiemi E r sono disgiunti, perché i set U nti sono tali. Quindi, resta da dimostrare che ogni E R è una s - t taglio. Per dimostrarlo, prendi un percorso s - t arbitrario p = ( u 1 , u 2 , … , u m ) con u 1 = s e u m = t . Dal $U_r$$E_r$$U_r$$E_r$$s$$t$$s$$t$$p=(u_1, u_2, \ldots,u_m)$$u_1=s$$u_m=t$ , la sequenza delle distanze d ( u 1 ) , … , d ( u m ) deve raggiungere il valore d ( u m ) = d ( t ) iniziando da d ( u 1 ) = d ( s ) = 0 e aumentando il valore al massimo$d(u_{i+1})\leq d(u_i)+1$$d(u_1),\ldots,d(u_m)$$d(u_m)=d(t)$$d(u_1)=d(s)=0$$1$in ogni passaggio. Se un certo valore viene diminuito, allora dobbiamo raggiungere il valore d ( u i ) in quest'ultimo. Quindi, deve esserci una j in cui si verifica un salto da d ( u j ) = r a d ( u j + 1 ) = r + 1 , il che significa che il bordo ( u j , u j + 1 ) appartiene a E r , come desiderato. QED $d(u_i)$$d(u_i)$$j$$d(u_j)=r$$d(u_{j+1})=r+1$$(u_j,u_{j+1})$$E_r$

E se ci fossero anche percorsi più brevi (di )? Qualche suggerimento / riferimento? $k$

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JT Robacker, teoremi Min-Max sulle catene più brevi e tagli disgiunti di una rete, Memorandum di ricerca RM-1660, The RAND Corporation, Santa Monica, California, [12 gennaio] 1956. $^{\ast}$

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EDIT (un giorno dopo): tramite una breve e simpatica discussione, David Eppstein ha risposto negativamente alla domanda originale sopra : il DAG T n completo (un torneo transitivo ) non può avere più di quattro k- cut disgiunti ! Infatti, dimostra il seguente interessante fatto strutturale , per k circa √$T_n$$k$$k$ . Un taglio èpurose non contiene spigoli incidenti aso at.$\sqrt{n}$$s$$t$

Ogni taglio puro in T n contiene un percorso di lunghezza k . $k$$T_n$$k$

Questo, in particolare, implica che ogni due tagli puri devono intersecarsi! Ma forse ci sono ancora molti k- tagli puri che non si sovrappongono "troppo". Quindi, una domanda rilassata (le conseguenze per STCONN sarebbero le stesse ):$k$$k$

Domanda 2: se ogni taglio puro ha bordi ≥ M , allora il grafico deve avere bordi Ω ( k ⋅ M ) ? $k$$\geq M$$\Omega(k\cdot M)$

La connessione con la complessità di STCONN deriva dal risultato di Erdős e Gallai che bisogna rimuovere tutti i bordi tranne da (non indirizzati) K m per distruggere tutti i percorsi di lunghezza k . $(k-1)m/2$$K_m$$k$

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EDIT 2: ora ho posto la domanda 2 a mathoverflow .

Risposta breve: no.

Lasciate sia un DAG completa (torneo transitivo) su n vertici con s e t sua fonte e lavandino, e lasciare che k = $G$$n$$s$$t$$k=\sqrt{n/3}$$n/3$$s$$n/3$$t$$C$$s$$t$

$X$$G$$x$$sx$$xt$$C$$X$$n/3$$C$$s$$t$$X\setminus C$$k$$s$$t$$G\setminus C$$X\setminus C$$k$$(n/3)/k=k$$X\setminus C$$C$$C$$P$$k$

$C$$s$$P$$P$$t$$s$$P$$t$$C$$C$$n/3$$s$$t$$k$