Teorema di Church e teoremi di incompletezza di Gödel

Di recente ho letto alcune delle idee e della storia del lavoro pionieristico svolto da vari logici e matematici sulla computabilità. Mentre i singoli concetti sono abbastanza chiari per me, sto cercando di ottenere una solida comprensione delle relazioni reciproche e del livello astratto a cui sono tutti collegati.

Sappiamo che il teorema di Church (o meglio, le prove indipendenti del problema Entscheidungs di Alonzo Church e Alan Turing di Hilbert ) hanno dimostrato che in generale non possiamo calcolare se una determinata affermazione matematica in un sistema formale sia vera o falsa. A quanto ho capito, la tesi di Church-Turing fornisce una descrizione abbastanza chiara dell'equivalenza (isomorfismo) tra il calcolo lambda di Church e le macchine di Turing, quindi abbiamo effettivamente un modello unificato per la calcolabilità. (Nota: per quanto ne so, la prova di Turing si avvale del fatto che il problema dell'arresto è indecidibile. Correggimi se sbaglio.)

Ora, il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che non tutte le affermazioni in un sistema formale coerente con sufficiente potere aritmetico possono essere provate o smentite (decise) all'interno di questo sistema. In molti modi, mi sembra che stia dicendo esattamente la stessa cosa dei teoremi di Church, considerando che il calcolo lambda e le macchine di tornitura sono entrambi tipi di sistemi effettivamente formali!

Questa è comunque la mia interpretazione olistica e speravo che qualcuno potesse far luce sui dettagli. Questi due teoremi sono effettivamente equivalenti? Ci sono delle sottigliezze da osservare? Se queste teorie stanno essenzialmente guardando la stessa verità universale in modi diversi, perché sono state affrontate da angolazioni così diverse? (Ci sono stati più o meno 6 anni tra la prova di Godel e quella di Church). Infine, possiamo essenzialmente dire che il concetto di provabilità in un sistema formale (calcolo di prova) è identico al concetto di calcolabilità nella teoria della ricorsione (macchine di Turing / calcolo lambda)?

Innanzitutto, ti suggerisco di leggere la "metamatematica" di Kleene come un buon libro su questi argomenti. I primi due capitoli del volume I della "Teoria della ricorsione classica" di Odifreddi possono anche essere utili per comprendere la relazione tra questi concetti.

Sappiamo che il teorema di Church (o meglio, le prove indipendenti del problema Entscheidungs ​​di Alonzo Church e Alan Turing di Hilbert) hanno dimostrato che in generale non possiamo calcolare se una determinata affermazione matematica in un sistema formale sia vera o falsa.

Penso che ti riferisci al teorema di Church secondo cui l'insieme dei teoremi della logica del primo ordine non è decidibile. È importante notare che la lingua è di primo ordine.

A quanto ho capito, la tesi di Church-Turing fornisce una descrizione abbastanza chiara dell'equivalenza (isomorfismo) tra il calcolo lambda di Church e le macchine di Turing, quindi abbiamo effettivamente un modello unificato per la calcolabilità.

No. L'equivalenza tra lambda-calcolabilità e Turing-calcolabilità è un teorema di Kleene. Non è una tesi. È considerata una prova a sostegno della tesi di Church.

Nota: per quanto ne so, la prova di Turing si avvale del fatto che il problema dell'arresto è indecidibile. Correggimi se sbaglio.

Ora, il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che non tutte le affermazioni in un sistema formale coerente possono essere provate all'interno di questo sistema. In molti modi, mi sembra che stia dicendo esattamente la stessa cosa dei teoremi di Church, considerando che il calcolo lambda e le macchine di tornitura sono entrambi tipi di sistemi effettivamente formali!

No. Il teorema di Godel afferma che per ogni teoria coerente e ricorsivamente enumerabile che contiene abbastanza aritmetica , esiste una frase φ st φ e$\omega$$\varphi$$\varphi$$\lnot \varphi$ non sono provabili in essa.

Questo non afferma la stessa cosa. Non dice nulla sul fatto che l'insieme dei teoremi della teoria sia indecidibile.

Questa è comunque la mia interpretazione olistica e speravo che qualcuno potesse far luce sui dettagli. Questi due teoremi sono effettivamente equivalenti? Ci sono delle sottigliezze da osservare? Se queste teorie stanno essenzialmente guardando la stessa verità universale in modi diversi, perché sono state affrontate da angolazioni così diverse? (Ci sono stati più o meno 6 anni tra la prova di Godel e quella di Church).

Nel corso degli anni ci sono stati molti abusi dei teoremi di Godel (e teoremi simili). Bisogna stare molto attenti a interpretarli. Per quanto ho visto, gli abusi sono generalmente il risultato di dimenticare di menzionare una condizione nel teorema o di combinare i teoremi con altre credenze. Uno sguardo attento mostra che questi teoremi, sebbene correlati, non sono equivalenti.

Infine, possiamo essenzialmente dire che il concetto di provabilità in un sistema formale (calcolo di prova) è identico al concetto di calcolabilità nella teoria della ricorsione (macchine di Turing / calcolo lambda)?

Non capisco cosa intendi per "identico". Certamente ci sono molte relazioni tra calcolabilità e provabilità. Potrei essere in grado di fare un commento più utile se chiarisci cosa intendi con questi identici.

aggiornare

$L$$T$$Thm(T)$$T$$\lnot Thm(T)$$T$$True$$False$$True$$False$$L = True \cup False$

$Thm(T) \cup \lnot Thm(T)$$L$$T$

$Thm(T)$$Thm(T)$ non è decidibile.

Sul rapporto tra provabilità nel sistema formale e calcolabilità. Uno è il seguente: se il sistema è efficace, l'insieme di espressioni derivabili in esso è re e il sistema è un caso speciale di grammatica. La grammatica è un altro modo per definire il concetto di calcolabilità che equivale alla calcolabilità della macchina di Turing.

possiamo essenzialmente dire che il concetto di provabilità in un sistema formale (calcolo di prova) è identico al concetto di calcolabilità nella teoria della ricorsione (macchine di Turing / calcolo lambda)?

Questi sono molto simili ma non identici, poiché alcune delle fasi del calcolo delle prove possono rappresentare operazioni non calcolabili.

$ZFC$$\wp(N)$

Allo stesso modo, il Teorema di completezza di Gödel ci dice che qualsiasi formula valida nella logica del primo ordine ha una prova, ma il teorema di Trakhtenbrot ci dice che, su modelli finiti, la validità delle formule del primo ordine è indecifrabile.

Quindi le prove finite non corrispondono necessariamente a operazioni calcolabili.

Anche se questo non è esattamente ciò che stai chiedendo, è nella stessa vena e speriamo che tu (e altri lettori della tua domanda) lo trovi interessante. Dovresti assolutamente leggere la corrispondenza di Curry-Howard , che afferma che la categoria di programmi è, in un senso specifico, isomorfa alla categoria di prove costruttive . (Si tratta di discutere prove e calcolabilità a un livello diverso rispetto alle altre risposte.)

Cercherò di rispondere alla tua domanda dal punto di vista che prendi, in breve; Sto anche cercando di mettere in relazione i due teoremi in modo diverso.

Il primo teorema di incompletezza di Gödel afferma che in un sistema formale coerente con sufficiente potere aritmetico, esiste un'affermazione P tale che non esiste alcuna prova né di essa né della sua negazione. Ciò non implica che non esiste un algoritmo decisionale per l'insieme dei teoremi della teoria, il che direbbe anche che né P né P sono teoremi. Il risultato del teorema di Church-Turing afferma che un tale algoritmo non esiste. Questo è anche il nocciolo della risposta di Kaveh, spero di averlo spiegato più chiaramente.

Ora proverò a dimostrare che il teorema di Church-Turing implica il teorema di Gödel, per favore spiegami dove e se sbaglio. L'insieme di teoremi Thm è parzialmente decidibile, e supponiamo che R sia un programma che lo riconosce (cioè, si ferma con "yes" se l'ingresso è in Thm, continua a funzionare altrimenti). Usiamo questo per costruire un nuovo algoritmo: data un'istruzione Q, per vedere se è provabile, esegui R in parallelo su Q e non Q, interlacciando la loro esecuzione e fermandosi quando il primo si ferma e producendo "No" se "non Q" è stato provato, e "Sì" altrimenti; questo fornisce un algoritmo calcolabile. Supponendo per contraddizione che tutte le affermazioni possano essere provate o smentite, questo algoritmo risolverebbe il problema di Entscheidungs, ma è assurdo! Pertanto, ci deve essere una dichiarazione che può