Circuiti aritmetici con ,

Si consideri un circuito che prende come numeri ingressi in $[0,1]$ , e ha porte che consistono delle funzioni $\max(x, y)$ , $\min(x, y)$ , $1 - x$ , e $\frac{x+y}{2}$ . L'uscita del circuito è quindi anche un numero in $[0,1]$ .

Qualcuno sa se questo modello, o un modello strettamente correlato, è stato studiato?

In particolare, sto cercando di risolvere il problema di soddisfacibilità di questo circuito, vale a dire calcolare il valore massimo che può essere raggiunto da questo circuito (in effetti raggiunge un massimo, in quanto rappresenta una funzione continua in un dominio compatto).

Nota: il mio studio su questo modello è basato su logiche temporali ponderate, quindi anche qualsiasi modello relativo a quest'ultimo potrebbe tornare utile.

arithmetic-circuits

— Shaull
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Sicuramente questo problema è NP-difficile. (Via soddisfacente: hai

x \lor y \equiv max {x, y}

$x\vee y \equiv \max\{x,y\}$ e

\neg x \equiv 1 - x

$\neg x \equiv 1 - x$ , con cui puoi fare AND, OR e NOT.) Quindi, la tua domanda è se o no questo problema si trova in NP? La questione della decisione se un tale circuito ha un input che produce valore 1 sembra essere in NP, poiché, se esiste un input, ce n'è uno che è 0/1.

— Neal Young,

Se scegliamo non deterministicamente uno dei possibili valori di verità per , dove sono tutte coppie di nodi in modo che un nodo o compaia in il circuito, questo si trasforma in un problema di programmazione lineare, che è risolvibile in P. Pertanto, la versione decisionale del problema di massimizzazione originale è in NP. (Questa è una variante del problema di soddisfacibilità nella logica di Łukasiewicz, quindi potresti voler guardare il capitolo di Haniková nel Manuale di Logica matematica fuzzy per informazioni correlate.)

\leq 2^{n}

$\le2^n$

x \leq y

$x\le y$

x, y

$x,y$

min (x, y)

$\min(x,y)$

max (x, y)

$\max(x,y)$

— Emil Jeřábek

@Shaull: lascia che lo descriva in modo più dettagliato. Sia i nodi del circuito che sono porte min o max (qui è delimitato dalle dimensioni del circuito) e che e siano i nodi di ingresso della porta . Per ogni , selezionare un vincolo aggiuntivo o . Ci sono tali scelte. Quando tale scelta è fissa, è possibile semplificare il circuito sostituendo con o

{a_{i} : i < m}

$\{a_i:i<m\}$

m

$m$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$

a_{i}

$a_i$

i < m

$i<m$

b_{i} \leq c_{i}

$b_i\le c_i$

c_{i} \leq b_{i}

$c_i\le b_i$

2^{m}

$2^m$

a_{i}

$a_i$

b_{i}

$b_i$

c_{i}

$c_i$ a seconda dei casi, quindi si trasforma in un sistema di equazioni lineari le cui variabili sono le variabili originali del problema e le variabili aggiuntive corrispondenti a ...

— Emil Jeřábek,

... nodi nel circuito. Includere disuguaglianze che dichiarano che i vincoli aggiuntivi sono soddisfatti, le disuguaglianze delimitano le variabili originali a , e una disuguaglianza che indica che il nodo di uscita ha un valore . Allora questo è un programma lineare a seconda della scelta dei vincoli aggiuntivi, e il valore raggiunge circuito sse esiste una scelta dei vincoli tale che il programma lineare associato ha una soluzione.

m

$m$

[0, 1]

$[0,1]$

\geq u

$\ge u$

\geq u

$\ge u$

— Emil Jeřábek,

Si noti inoltre che il valore ottimale di un programma lineare viene raggiunto in corrispondenza di un vertice del politopo. Ciò significa che il denominatore della soluzione ottimale può essere espresso come determinante di una matrice di dimensione cui voci sono numeri interi di dimensione costante e ci sono solo voci diverse da zero in ogni riga e come tale è limitato da .

O (n)

$O(n)$

O (1)

$O(1)$

2^{O (n)}

$2^{O(n)}$

— Emil Jeřábek,

Risposte:

Il problema di soddisfacibilità per questi circuiti (cioè, dato un circuito e , decide se esiste un input tale che ) è in NP, e quindi NP-complete di Il commento di Neal Young e la risposta di Peter Shor. $C$ $u\in[0,1]$ $x$ $C(x)\ge u$

Possiamo costruire una riduzione non deterministica del problema alla programmazione lineare nel modo seguente. Sia tutti i nodi di che sono porte min o max (qui , dove è la dimensione del circuito), e che e siano i nodi di input della porta . Per ogni , scegli uno dei due vincoli aggiuntivi o (ci sono possibili scelte in totale). Quando tale scelta è fissa, possiamo semplificare il circuito sostituendo ogni con o $\{a_i:i<m\}$ $C$ $m\le n$ $n$ $b_i$ $c_i$ $a_i$ $i<m$ $b_i\le c_i$ $c_i\le b_i$ $2^m$ $a_i$ $b_i$ $c_i$ come appropriato, e il circuito risultante può essere descritto da un sistema di equazioni lineari le cui variabili sono le variabili di ingresso originali del circuito e le variabili aggiuntive corrispondenti ai nodi del circuito. $n$

Abbiamo anche disuguaglianze affermando che i vincoli aggiuntivi sono soddisfatti, le disuguaglianze delimitano le variabili di input originale per , e una disuguaglianza che indica che il nodo di uscita ha un valore . Quindi questo è un programma lineare di dimensione seconda della scelta dei vincoli extra, e il circuito raggiunge valore se esiste una scelta dei vincoli tale che il programma lineare associato ha una soluzione. Poiché la programmazione lineare è in P, ciò dimostra che il problema è in NP. $m$ $[0,1]$ $\ge u$ $O(n)$ $\ge u$

Si noti inoltre che il valore ottimale di un programma lineare viene raggiunto in corrispondenza di un vertice del politopo. Ciò significa che il denominatore della soluzione ottimale può essere espresso come determinante di una matrice quadrata di dimensione cui voci sono numeri interi di dimensioni costanti e ci sono solo voci diverse da zero in ogni riga e come tali è limitato da . $O(n)$ $O(1)$ $2^{O(n)}$

Riduzioni di questo tipo sono spesso utili per dare limiti superiori alla complessità della soddisfacibilità nelle logiche fuzzy proposizionali (come la logica Łukasiewicz) e nei sistemi correlati. (In effetti, il problema originale è una variante minore di soddisfacibilità in Łukasiewicz, che corrisponderebbe ai circuiti con anziché ) È possibile trovare una panoramica dei risultati correlati nel capitolo X del manuale di Mathematical Fuzzy Logic, vol. II. $\min(1,x+y)$ $(x+y)/2$

— Emil Jeřábek
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Questo problema è NP-difficile.

È possibile ottenere 3-SAT con le porte min ( x , y ), max ( x, y ) e 1− x .

Ciò che vogliamo è ridurre un problema 3-SAT a un circuito per il quale è possibile ottenere 1 se tutte le variabili sono soddisfacenti e si può ottenere solo qualcosa di rigorosamente inferiore a 1 altrimenti.

Possiamo forzare tutte le variabili a essere 0 o 1 prendendo un minimo di molte espressioni e fare in modo che queste espressioni includano max ( x , 1− x ).

Ora per ogni clausola nel problema 3-SAT x ∨ y ∨ z , mettiamo l'espressione max ( x , y , z ) nel minimo.

Non so quale sia il valore ottimale per un problema 3-SAT non soddisfacente, ma sarà rigorosamente inferiore a 1.

— Peter Shor
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Sì, la durezza NP è la "direzione facile", come sottolineato in un commento sopra. Infatti, se non si utilizza il gate medio, ma solo min e max, è facile mostrare che il valore massimo è 1 se il corrispondente circuito booleano è soddisfacente, e 1/2 altrimenti (semplicemente collegando 1/2 a tutti le variabili). Comunque, il problema è stato risolto nei commenti sopra.

— Shaull,

Non esattamente quello che hai chiesto, ma un contesto in cui compaiono circuiti simili.

Se rimuovi il gate (che non è nemmeno menzionato nel titolo!), Ciò che ottieni è un circuito aritmetico monotono. I limiti inferiori del circuito monotono classico di Razborov sono stati estesi ai circuiti aritmetici monotoni (con gli stessi risultati) di Pavel Pudlák, Limiti inferiori per la risoluzione e taglio delle prove dei piani . $1-x$

— Yuval Filmus
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Grazie. In questo caso, tuttavia, se si rimuove il gate , il problema è insignificante: il valore massimo è 1 ed è raggiunto quando tutte le variabili ottengono il valore 1.

1 - x

$1-x$

— Shaull