Minimizzazione DFA multilingue

Sono interessato a una leggera generalizzazione di DFA. Come al solito abbiamo lo stato , l'alfabeto finito , un'azione definita su da e stato iniziale ; ma invece della solita serie di terminali, prendiamo una famiglia di sottoinsiemi di . Un DFA multilingue è quindi la tupla $Q$ $\Sigma$ $\Sigma^*$ $Q$ $\delta : Q\times\Sigma\rightarrow Q$ $q_0$ $(T_i)_{i\in 1..n}$ $Q$ $M$

$(Q, \Sigma, \delta, q_0, (T_i))$

e è riconosciuto da iff per alcuni . Definisci per essere la famiglia di lingue riconosciute da M, se lo desideri. $L \subseteq \Sigma^*$ $M$ $L = \{s\in\Sigma^*|q_0s\in T_i\}$ $i\in 1..n$ $(L_i(M))_{i\in 1..n}$

Bene, ora per la mia domanda: data una famiglia di lingue regolari , voglio trovare il DFA multilingue multilingue come descritto sopra in modo tale che per tutto , cioè tale cheè ridotto a icona su tutte queste macchine. La mia domanda è: esistono modi noti noti per farlo, forse analogo alla teoria della minimizzazione DFA standard? Al contrario, ci sono prove che questo problema potrebbe essere difficile? $(L_i)_{i\in 1..n}$ $M$ $L_i = L_i(M)$ $i\in 1..n$ $|Q|$

automata-theory dfa

— gdmclellan
fonte

Mi sembra che l'algoritmo standard basato sul raffinamento delle partizioni, modificato solo per iniziare partizionando il set iniziale di stati a prescindere dal fatto che accetti / non accetti per ciascuno dei sottoinsiemi dati piuttosto che per un singolo set , dovrebbe funzionare subito. Perché non dovrebbe? Suddivide le coppie di stati solo quando devono essere divisi, quindi genera ancora il più grossolano raffinamento possibile degli stati.

T_{i}

$T_i$

T

$T$

— David Eppstein,

La prova del commento di @DavidEppstein è semplice se si definisce la relazione di equivalenza

x \sim y

$x\sim y$ iff

per ogni

, dove

è la relazione di equivalenza di Myhill-Nerode. È quindi possibile procedere seguendo le stesse linee dell'algoritmo di minimizzazione standard.

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i}y$

i

$i$

x \sim_{T_{i}} y

$x\sim_{T_i} y$

— Shaull

non capisco bene. è la risposta a questo problema trovare il DFA minimo di un'unione di DFA con la stessa "configurazione" tranne gli stati finali diversi, ogni DFA per

? anche il valore di riconoscimento di

non sembra avere esattamente senso, sembra confondere stringhe e insiemi di stati.

1.. n

$1..n$

L = {. . .}

$L=\{...\}$

— vzn,

I punti sollevati da DavidEppstein e Shaull sembrano convincenti, troverò un po 'di tempo per ripassare il teorema di Myhill-Nerode quando avrò tempo di convincermi che il quoziente produce ancora l'automa minimo. Con il senno di poi sembra troppo ovvio.

— gdmclellan,

@vzn: sicuramente non voglio unire le lingue dell'automa originale; e

può sovrapporsi. Un multi-lingua DFA con le lingue

deve essere in grado di segnalare, ad esempio, che

, ma

. Per quanto riguarda la notazione usata nel definire il riconoscimento di una lingua, la notazione viene definita estendendo

-azione su

dalle seguenti regole per tutte le

T_{i}

$T_i$

A

$A$

B

$B$

s \in A

$s\in A$

s \notin B

$s\notin B$

δ

$\delta$

Σ^{*}

$\Sigma^*$

Q

$Q$

q \in Q, σ \in Σ, s \in Σ^{*}

$q\in Q, \sigma\in\Sigma, s\in\Sigma^*$

q σ = δ (q, σ), q (s σ) = (q s) σ

$q\sigma = \delta(q, \sigma), q(s\sigma) = (qs)\sigma$

— gdmclellan,

Risposta breve . Data una famiglia finita di lingue regolari , esiste un multi-automa completo deterministico minimo unico che riconosce questa famiglia. $\mathcal{L} = (L_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$

Dettagli . Il caso corrisponde alla costruzione standard e il caso generale non è molto diverso nello spirito. Data una lingua e una parola , let . Definire una relazione di equivalenza su impostando $n = 1$ $L$ $u$ $u^{-1}L = \{ v \in A^* \mid uv \in L \}$ $\sim$ $A^*$ Dato che è regolare, questa congruenza ha un indice finito. Inoltre, è facile vedere che ogni è saturo di e che per ogni , implica . Indichiamo con la parola vuota e con laclasse di una parola

u \sim v ⟺ for each L \in L, u^{- 1} L = v^{- 1} L

$u \sim v \iff \text{for each }L \in \mathcal{L},\ u^{-1}L = v^{-1}L$

L_{i}

$L_i$

L_{i}

$L_i$

\sim

$\sim$

a \in A

$a \in A$

u \sim v

$u \sim v$

u a \sim v a

$ua \sim va$

1

$1$

[u]

$[u]$

\sim

$\sim$

u

$u$ . Sia

essere il multi-automa deterministico definito come segue:

A_{L} = (Q, [1], \cdot, (F_{i})_{1 ⩽ i ⩽ n})

$\mathcal{A}_\mathcal{L} = (Q, [1], \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$

, $Q = \{ [u] \mid u \in A^*\}$
, $[u] \cdot a = [ua]$
. $F_i = \{ [u] \mid u \in L_i\}$

Per costruzione, se e solo se e quindi accetta la famiglia . Resta da dimostrare che è minima. In realtà è minimo in un forte senso algebrico (il che implica che ha il numero minimo di stati). Sia e $[1] \cdot u \in F_i$ $u \in L_i$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $\mathcal{A} = (Q, q_-, \cdot, (F_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ essere due multi-automi. Un morfismo è una mappa suriettiva da a tale che $\mathcal{A}' = (Q', q'_-, \cdot, (F'_i)_{1 \leqslant i \leqslant n})$ $f: \mathcal{A} \to \mathcal{A}'$ $Q$ $Q'$

, $f(q_-) = q'_-$
per , , $1 \leqslant i \leqslant n$ $f^{-1}(F'_i) = F_i$
per tutti e , . $u \in A^*$ $q \in Q$ $f(q \cdot u) = f(q) \cdot u$

Allora per ogni accessibili deterministico multi-automa accettando , esiste un morfismo da su . Per dimostrarlo, si verifica innanzitutto che se , allora . Ora è definito da dove è una parola tale che $\mathcal{A}$ $\mathcal{L}$ $\mathcal{A}$ $\mathcal{A}_\mathcal{L}$ $q_- \cdot u_1 = q_- \cdot u_2 = q$ $u_1 \sim u_2$ $f$ $f(q) = [u]$ $u$ . Quindi si può dimostrare che soddisfa le tre proprietà richieste. $q_- \cdot u = q$ $f$

La fine è un po 'imprecisa, fammi sapere se hai bisogno di maggiori dettagli.

— J.-E. perno
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