Asintoticamente, quante permutazioni di hanno al massimo inversioni?

Considera una permutazione di . Un'inversione è definita come una coppia di indici tale che e . $\sigma$ $[1..n]$ $(i, j)$ $i < j$ $\sigma(i) > \sigma(j)$

Definisci come il numero di permutazioni di con al massimo inversioni. $A_k$ $[1..n]$ $k$

Domanda: Qual è il limite asintotico stretto per ? $A_k$

Prima è stata posta una domanda correlata: Numero di permutazioni che hanno la stessa distanza di Kendall-Tau

Ma la domanda sopra riguardava il calcolo di . Può essere calcolato utilizzando la programmazione dinamica, poiché soddisfa la relazione di ricorrenza mostrata qui: /programming/948341/dynamic-programming-number-of-ways-to-get-at-least-n-bubble -sort-swap $A_k$

È stato anche studiato il numero di permutazioni con esattamente inversioni e può essere espresso come una funzione generatrice: http://en.wikipedia.org/wiki/Permutation#Inversions $k$

Ma non riesco a trovare una formula in forma chiusa o un limite asintotico.

co.combinatorics permutations

— Vinayak Pathak
fonte

Se si dispone di un polinomio di generazione per una sequenza, è possibile derivare il polinomio di generazione per le somme del prefisso semplicemente moltiplicando il polinomio per . Nel tuo caso, useresti il polinomio a cui ti sei collegato che calcola le inversioni esattamente-k.

1 / (1 - x)

$1/(1-x)$

— Suresh Venkat,

Questo è oeis.org/A161169

— András Salamon,

@SureshVenkat Grazie per il suggerimento. Ma sarò ancora bloccato nel trovare il coefficiente di

in questo polinomio davvero complicato in termini di

e non vedo come farlo.

x^{k}

$x^k$

n

$n$

k

$k$

— Vinayak Pathak,

per ottenere il coefficiente di

, prendere la derivata

-esima del polinomio generatore e valutarlo in

x^{k}

$x^k$

k

$k$

x = 0

$x = 0$

— Sasho Nikolov,

Secondo Wikipedia, il numero di permutazioni in con esattamente inversioni è il coefficiente di in Indica questo con . Questo dimostra che $S_n$ $k$ $X^k$

1 (1 + X) (1 + X + X^{2}) \dots (1 + X + \dots + X^{n - 1}) .

$1(1+X)(1+X+X^2)\cdots(1+X+\cdots+X^{n-1}).$

c (n, k)

$c(n,k)$

Quindi il numero di permutazioni in

con al massimo

inversioni è uguale al numero di permutazioni in

con esattamente

inversioni. Anche questo ha una chiara prova combinatoria (suggerimento: prendi

e rimuovi

c (n + 1, k) = \sum_{l = 0}^{k} c (n, k - l) .

$c(n+1,k) = \sum_{l=0}^k c(n,k-l).$

S_{n}

$S_n$

k

$k$

S_{n + 1}

$S_{n+1}$

k

$k$

π \in S_{n + 1}

$\pi\in S_{n+1}$

n + 1

$n+1$

Se siamo interessati solo al coefficiente di , i fattori per non fanno alcuna differenza. Quindi per , è il coefficiente di in $X^k$ $X^m$ $m > k$ $n > k$ $c(n,k)$ $X^k$ Ciò implica la formula

\begin{aligned} 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{K - 1}) (1 + X + \dots + X^{K} + \dots)^{n - K} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{K - 1}) \frac{1}{(1 - X)^{n - K}} \\ = & 1 (1 + X) \dots (1 + X + \dots + X^{K - 1}) Σ_{t = 0}^{\infty} (\binom{t + n - K - 1}{t}) X^{t} . \end{aligned}

$\begin{align*} &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) (1+X+\cdots+X^k+\cdots)^{n-k} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \frac{1}{(1-X)^{n-k}} \\ = &1(1+X)\cdots(1+X+\cdots+X^{k-1}) \sum_{t=0}^\infty \binom{t+n-k-1}{t} X^t. \end{align*}$

c (n, K) = Σ_{t = 0}^{K} (\binom{n + t - K - 1}{t}) c (K, K - t), n > K .

$c(n,k) = \sum_{t=0}^k \binom{n+t-k-1}{t} c(k,k-t), \quad n > k.$

Quando è costante, il termine asintoticamente più importante è quello corrispondente a , e abbiamo $k$ $t = k$

c (n, K) = (\binom{n - 1}{K}) + O_{K} (n^{K - 1}) = \frac{1}{K!} n^{K} + O_{K} (n^{K - 1}) .

$c(n,k) = \binom{n-1}{k} + O_k(n^{k-1}) = \frac{1}{k!} n^k + O_k(n^{k-1}).$

c (n + 1, k)

$c(n+1,k)$

$k$ $\binom{n+t-k-1}{t} = \binom{n+t-k-1}{n-k-1}$ $t$ $\sum_{t=0}^k c(k,t) \leq k!$

(\binom{n - 1}{K}) \leq c (n, K) \leq K! (\binom{n - 1}{K}) .

$\binom{n-1}{k} \leq c(n,k) \leq k! \binom{n-1}{k}.$

— Yuval Filmus
fonte

c (n, k) \leq k! (\binom{n - 1}{k}) \leq e k^{k + 1 / 2} e^{- k} (e (n - 1) / k)^{k}

$c(n,k)\leq k!\binom{n-1}{k} \leq ek^{k+1/2}e^{-k}(e(n-1)/k)^k$

c (n, k) \leq e \sqrt{k} (n - 1)^{k}

$c(n,k) \leq e\sqrt{k}(n-1)^k$