Come possiamo esprimere " " come formula del primo ordine? [chiuso]

1. Come possiamo esprimere " " come formula del primo ordine?$P=PSPACE$
2. Quale livello della gerarchia aritmetica contiene questa formula (e qual è il livello minimo attualmente noto della gerarchia che la contiene)?

Per riferimento, vedi questo post sul blog di Lipton .

In primo luogo, voglio rivolgere i commenti alla domanda, in cui è stato suggerito che "false" esprime perché l'affermazione è falsa. Anche se questa potrebbe essere una buona battuta, in realtà è molto dannoso pensare in questo modo. Quando chiediamo come esprimere una certa frase in un certo sistema formale, non stiamo parlando di valori di verità. Se lo fossimo, allora quando qualcuno chiese "Come faccio a scrivere il fatto che ci sono infiniti numeri primi?" potremmo rispondere "3 + 3 = 6", ma questo chiaramente non lo farà. Per lo stesso motivo "false" non è una risposta valida a "come posso scrivere ?". Penso che Frege e Russell si siano sforzati di insegnarci quella lezione. Ok, ora alla risposta.P = P S P A C $P = PSPACE$$P = PSPACE$

Lascia che ti mostri come esprimere , l'altra direzione è simile, e poi li si può mettere insieme in una congiunzione di ottenere . In ogni caso, per i tuoi scopi potrebbe essere sufficiente esprimere solo , a seconda di cosa stai facendo.P S P A C E = P P S P A C E ⊆ $PSPACE \subseteq P$$PSPACE = P$$PSPACE \subseteq P$

Usando tecniche simili a quelle nella costruzione del predicato$T$ a c c e p t s p a c e ( k , m , n ) Σ 0 0 = Π 0 0 k | n | m n | n | n k m n | n | m 2 | n | m di Kleene , possiamo costruire una formula limitata accetta_ (che risiede quindi in ) dicendo "quando noi avvia la macchina codificata da e limita il suo utilizzo dello spazio a , la macchina accetta l'ingresso . " Quiè la lunghezza di . Un modo informale di vedere che esistono tali formule è questo: dato , e possiamo calcolare il primitivo ricorsivo legato a quanto tempo e quanto spazio avremo mai bisogno (cioè, al massimo$accept_{space}(k, m, n)$$\Sigma^0_0 = \Pi^0_0$$k$$|n|^m$$n$$|n|$$n$$k$$m$$n$$|n|^m$ spazio e al massimo tempo). Quindi cerchiamo semplicemente attraverso tutte le possibili tracce di esecuzione che si trovano all'interno dei limiti calcolati - tale ricerca è piuttosto inefficiente, ma è ricorsiva primitiva e quindi possiamo esprimerla come una formula limitata.$2^{|n|^m}$

Esiste una formula simile in cui il tempo di esecuzione è vincolato da .| n | $accept_{time}(k, m, n)$$|n|^m$

Ora considera la formula: Dice che per ogni macchina che utilizza al massimo lo spazio esiste una macchina che utilizza al massimo il tempo tale che le due macchine accettino esattamente le stesse 's. In altre parole, la formula dice . Questa formula è .k | n | m k

Possiamo migliorare questo se siamo disposti a esprimere invece la frase " è in polytime", che dovrebbe essere abbastanza buono per la maggior parte delle applicazioni, come TQBF è PSPACE completo e quindi essere in polytime equivale a . Sia essere (il codice di) una macchina che riconosce TQBF nello spazio . Quindi " " può essere espresso come Questa formula è solo . Se fossi un teorico della complessità, saprei se è possibile fare ancora meglio (ma ne dubito).P S P A C E ⊆ P k 0 | n | m 0 T Q B F ∈ P ∃ k ′ , m ′ . ∀ n . a c c e p t s p a c e ( k 0 , m 0 , n ) ⇔ a c c e $TQBF$$PSPACE \subseteq P$$k_0$$|n|^{m_0}$$TQBF \in P$Σ 0

Andrej ha già spiegato che può essere scritto come una 0_2. Consentitemi di menzionare che questa classificazione è ottimale nel senso che se l'affermazione equivale a una 0_2, questo fatto non si relativizza. Più precisamente, l'insieme di oracoli tale che è definibile da una 0_2 con una variabile libera del secondo ordine , ma non è definibile da alcun -formula. L'argomento è delineato (per , ma funziona allo stesso modo per ) nei commenti suΣ 0 2 Π 0 2 A P A = P S P A C E A Σ 0 2 A Π 0 2 P = N P P S P A C E Σ 0 $P=\mathit{PSPACE}$$\Sigma^0_2$$\Pi^0_2$$A$$P^A=\mathit{PSPACE}^A$$\Sigma^0_2$$A$$\Pi^0_2$$P=\mathit{NP}$$\mathit{PSPACE}$/mathpro/57348 . (In effetti, si può dimostrare con una elaborazione dell'idea che l'insieme è nel senso appropriato.)$\Sigma^0_2$

EDIT: la prova topologica fornita nel commento collegato è breve, ma può sembrare complicata. Ecco un argomento di forzatura diretta.

$P^A\ne\mathit{PSPACE}^A$ può essere scritto come una della forma , dove è . Supponiamo per contraddizione che sia anche equivalente a un -formula . Oracoli Fix , tali che e .$\Pi^0_2$$\phi(A)=\forall x\,\exists y\,\theta(A,x,y)$$\theta$$\Delta^0_0$$P^A=\mathit{PSPACE}^A$$\Pi^0_2$$\psi(A)=\forall x\,\exists z\,\eta(A,x,z)$$B$$C$$P^B\ne\mathit{PSPACE}^B$$P^C=\mathit{PSPACE}^C$

Da esiste tale che . Tuttavia, è una formula limitata, quindi la valutazione del valore di verità di usa solo una parte finita dell'oracolo. Pertanto, esiste una parte finita di tale che per ogni oracolo estende .$\phi(B)$$y_0$$\theta(B,0,y_0)$$\theta$$\theta(B,0,y_0)$$b_0$$B$$\theta(A,0,y_0)$$A$$b_0$

Sia denota l'oracolo che estende e concorda con dove non è definito. Poiché e non sono interessati da un cambiamento finito nell'oracolo, abbiamo . Con lo stesso argomento di cui sopra, esiste e una parte finita di tale che per ogni estende . Possiamo supporre che estende .$C[b_0]$$b_0$$C$$b_0$$P^A$$\mathit{PSPACE}^A$$\psi(C[b_0])$$z_0$$c_0$$C[b_0]$$\eta(A,0,z_0)$$A$$c_0$$c_0$$b_0$

Continuando allo stesso modo, costruiamo infinite sequenze di numeri , e oracoli parziali finiti tale$y_0,y_1,y_2,\dots$$z_0,z_1,z_2,\dots$$b_0\subseteq c_0\subseteq b_1\subseteq c_1\subseteq b_2\subseteq\cdots$

1. $\theta(A,n,y_n)$ per ogni oracolo estende ,$A$$b_n$

2. $\eta(A,n,z_n)$ per ogni oracolo estende .$A$$c_n$

Ora, lascia che sia un oracolo che estende tutti e . Quindi 1 e 2 implicano che simultaneamente valgono e , il che contraddice l'assunto che sono complementi l'uno dell'altro.b n c n ϕ ( A ) ψ ( A $A$$b_n$$c_n$$\phi(A)$$\psi(A)$